Question

（2011•佛山二模）為提高廣東中小學生的健康素質和體能水平，廣東省教育廳要求廣東各級各類中小學每年都要在體育教學中實施“體能素質測試”，測試總成績滿分為100分．根據廣東省標準，體能素質測試成績在[85，100]之間為優秀；在[75，85]之間為良好；在[65，75]之間為合格；在（0，60）之間，體能素質為不合格．
現從佛山市某校高一年級的900名學生中隨機抽取30名學生的測試成績如下：
65，84，76，70，56，81，87，83，91，75，81，88，80，82，93，85，90，77，86，81，83，82，82，64，79，86，68，71，89，96．
（1）在答題卷上完成頻率分布表和頻率分布直方圖，并估計該校高一年級體能素質為優秀的學生人數；
（2）在上述抽取的30名學生中任取2名，設ξ為體能素質為優秀的學生人數，求ξ的分布列和數學期望（結果用分數表示）；
（3）請你依據所給數據和上述廣東省標準，對該校高一學生的體能素質給出一個簡短評價．

Answer 1

分析：（1）由題意的數據可得分布表和直方圖，可估計優秀的學生人數；（2）ξ的可能取值為0，1，2，分別可得其概率，可得分布列和數學期望；（3）由前面的數據可對該校高一學生的體能素質給出一個簡短評價．

解答： 解：（1）由已知的數據可得頻率分布表和頻率分布直方圖如下：

分組	頻數	頻率
[55，60）	1	1 30
[60，65）	1	1 30
[65，70）	2	2 30
[70，75）	2	2 30
[75，80）	4	4 30
[80，85）	10	10 30
[85，90）	6	6 30
[90，95）	3	3 30
[95，100）	1	1 30

根據抽樣，估計該校高一學生中體能素質為優秀的有

10

30

×900=300人                 …（5分）
（2）ξ的可能取值為0，1，2．…（6分）
P（ξ=0）=

C 2 20

C 2 30

=

38

87

，P（ξ=1）=

C 1 20 C 1 10

C 2 30

=

40

87

，P（ξ=2）=

C 2 10

C 2 30

=

9

87

             …（8分）
∴ξ分布列為：

ξ	0	1	2
P	38 87	40 87	9 87

…（9分）
所以，數學期望Eξ=0×

38

87

+1×

40

87

+2×

9

87

=

58

87

=

2

3

．…（10分）
（3）根據抽樣，估計該校高一學生中體能素質為優秀有

10

30

×900=300人，占總人數的

1

3

，體能素質為良好的有

14

30

×900=420人，占總人數的

7

15

，體能素質為優秀或良好的共有

24

30

×900=720人，占總人數的

4

5

，但體能素質為不合格或僅為合格的共有

6

30

×900=180人，占總人數的

1

5

，說明該校高一學生體能素質良好，但仍有待進一步提高，還需積極參加體育鍛煉．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列及數學期望的求解，涉及頻率分布直方圖，屬中檔題．