Question

對于定義域為D的函數(shù)y=f（x），若有常數(shù)M，使得對任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D滿足等式

f(x1)+f(x2)

2

=M，則稱M為函數(shù)y=f （x）的“均值”．
（1）判斷1是否為函數(shù)f（x）=2x+1（-1≤x≤1）的“均值”，請說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）=ax²-2x（1＜x＜2，a為常數(shù)）存在“均值”，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）是單調(diào)函數(shù)，且其值域為區(qū)間I．試探究函數(shù)f（x）的“均值”情況（是否存在、個數(shù)、大小等）與區(qū)間I之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論（不必證明）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)均值的定義，要判斷1是函數(shù)f（x）=2x+1（-1≤x≤1）的“均值”，即要驗證

f(x1)+f(x2)

2

=x1+x2+1=1；
（2）函數(shù)f（x）=ax²-2x（1＜x＜2，a為常數(shù)）存在“均值”，當(dāng)a=0時，f（x）=-2x（1＜x＜2）存在“均值”，且“均值”為-3；當(dāng)a≠0時，由f（x）=ax²-2x（1＜x＜2）存在均值，可知對任意的x₁，都有唯一的x₂與之對應(yīng)，從而有f（x）=ax²-2x（1＜x＜2）單調(diào)，從而求得實數(shù)a的取值范圍；
（3）根據(jù)（1），（2）的結(jié)論對于當(dāng)I=（a，b）或[a，b]時，函數(shù)f（x）存在唯一的“均值”；當(dāng)I為（-∞，+∞）時，函數(shù)f（x）存在無數(shù)多個“均值”，當(dāng)為半開半閉區(qū)間時，函數(shù)f（x）不存在均值．

解答：解：（1）對任意的x₁∈[-1，1]，有-x₁∈[-1，1]，
當(dāng)且僅當(dāng)x₂=-x₁時，有

f(x1)+f(x2)

2

=x1+x2+1=1，
故存在唯一x₂∈[-1，1]，滿足

f(x1)+f(x2)

2

=1，
所以1是函數(shù)f（x）=2x+1（-1≤x≤1）的“均值”．
（2）當(dāng)a=0時，f（x）=-2x（1＜x＜2）存在“均值”，且“均值”為-3；
當(dāng)a≠0時，由f（x）=ax²-2x（1＜x＜2）存在均值，可知對任意的x₁，
都有唯一的x₂與之對應(yīng)，從而有f（x）=ax²-2x（1＜x＜2）單調(diào)，
故有

1

a

≤1或

1

a

≥2，
解得a≥1或a＜0或0＜a≤

1

2

，
綜上，a的取值范圍是a≤

1

2

或a≥1．　　　　　　　　　
（3）①當(dāng)I=（a，b）或[a，b]時，函數(shù)f（x）存在唯一的“均值”．
這時函數(shù)f（x）的“均值”為

a+b

2

；　
②當(dāng)I為（-∞，+∞）時，函數(shù)f（x）存在無數(shù)多個“均值”．
這時任意實數(shù)均為函數(shù)f（x）的“均值”；　　　　　
③當(dāng)I=（a，+∞）或（-∞，a）或[a，+∞）或（-∞，a]或[a，b）或（a，b]時，
函數(shù)f（x）不存在“均值”．　　　　　　　　　　　　　
①當(dāng)且僅當(dāng)I形如（a，b）、[a，b]其中之一時，函數(shù)f（x）存在唯一的“均值”．
這時函數(shù)f（x）的“均值”為

a+b

2

；　
②當(dāng)且僅當(dāng)I為（-∞，+∞）時，函數(shù)f（x）存在無數(shù)多個“均值”．
這時任意實數(shù)均為函數(shù)f（x）的“均值”；　　　　　
③當(dāng)且僅當(dāng)I形如（a，+∞）、（-∞，a）、[a，+∞）、（-∞，a]、[a，b）、（a，b]其中之一時，
函數(shù)f（x）不存在“均值”．

點評：此題是個中檔題，考查函數(shù)單調(diào)性的理解，和學(xué)生的閱讀能力，以及分析解決問題的能力，其中問題（3）是一個開放性問題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力．