Question

已知直線l：

x=1+ 4 5 t y=-1- 3 5 t

（t為參數）與曲線C的極坐標方程：ρ=

2

cos(θ+

π

4

)．
（1）求直線l與曲線C的直角坐標方程（極點與坐標原點重合，極軸與x軸重合）
（2）求直線l被曲線C截得的弦長．

Answer 1

分析：（1）將參數方程消去參數t得直線l普通方程，依據極坐標方程和直角坐標方程的互化公式，把曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程．
（2）求出圓心和半徑，由點到直線距離公式得圓心到直線距離，再由弦長公式求得弦長．

解答：解：（1）將方程

x=1+ 4 5 t y=-1- 3 5 t

消去t得直線l普通方程3x+4y+1=0…（2分）．
把 ρ=

2

cos(θ+

π

4

)化為  ρ2=

2

ρ(cosθ•

2

2

-sinθ•

2

2

)…（4分），
得曲線C的直角坐標方程：x²+y²-x+y=0． …（6分）
（2）曲線C的圓心C(

1

2

，-

1

2

)，半徑為

2

2

，…（8分）
由點到直線距離公式得圓心到直線距離：d=

|3× 1 2 +4×(- 1 2 )+1|

32+42

=

1

10

，…（10分）
則弦長=2

r2-d2

=

1 2 - 1 100

=

7

5

． …（12分）

點評：本題考查把參數方程、極坐標方程化為直角坐標方程的方法，點到直線的距離公式，弦長公式的應用，求出圓心和半徑，
是解題的突破口．