Question

設函數f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y）+xy（x+y），又f'（0）=1，則函數f（x）的解析式為

f(x)=x+

1

3

x3

．

Answer 1

分析：可令y=1可得f（x+1）-f（x）=f（1）+x²+x然后分別賦予x為1，2，3…，（x-1）將這（x-1）個式子相加再結合1²+2²+…+（x-1）²=

x(x-1)(2x-1)

6

可得f（x）=xf（1）+

x3-x

3

下面只需求出f（1）即可求解而f'（0）=1，兩邊求導即可求出f（1）=

4

3

再代入即可求出f（x）．

解答：解：∵f（x+y）=f（x）+f（y）+xy（x+y）
∴令y=1則f（x+1）-f（x）=f（1）+x²+x
∴f（2）-f（1）=f（1）+1²+1
f（3）-f（2）=f（1）+2²+2
…
f（x）-f（x-1）=f（1）+（x-1）²+（x-1）
∴將上面（x-1）個式子相加可得f（x）-f（1）=（x-1）f（1）+[1²+2²+…+（x-1）²]+（1+2+3+…+（x-1））
∴f（x）=xf（1）+

x(x-1)(2x-1)

6

+

x(x-1)

2

=xf（1）+

x3-x

3

∴f^′（x）=f（1）+

x3-x

3

∵f'（0）=1
∴f（1）-

1

3

=1
∴f（1）=

4

3

∴f（x）=

4x

3

+

x3-x

3

=

1

3

x3+x
故答案為f（x）=

1

3

x3+x

點評：本題主要考查了函數解析式的求解，由于用到了利用遞推公式和疊加法以及1²+2²+…+（x-1）²=

x(x-1)(2x-1)

6

①再加上導數的應用，綜合性較強難度較大．解題的關鍵是利用y=1得出f（x+1）-f（x）=f（1）+x²+x再利用疊加法結合公式①得出f（x）=xf（1）+

x3-x

3

！