Question

（1）求經過直線l₁：7x-8y-1=0和l₂：2x+17y+9=0的交點，且平行于直線2x-y+7=0的直線方程．
（2）已知直線l的方程是mx+4y+2m-8=0，圓C的方程是x²+y²-4x+6y-29=0，求直線l被圓截得的弦長最短時的l的方程．

Answer 1

分析：（1）聯立兩直線的方程，解方程組求得交點，再由點斜式求解．
（2）因為直線l的方程為mx+4y+2m-8=0，即4（y-2）+m（x+2）=0，直線l過定點M（-2，2），再將圓的方程化為標準方程為（x-2）²+（y+3）²=42，所以圓心C坐標為（2，-3），半徑為

42

．由

(2+2)2+(2+3)2

=

41

＜

42

，可知直線l和圓必相交．然后再根據直線過圓心時弦長最長，該點與圓心的連線與直線垂直時最短求解．

解答：解：（1）由方程組

2x+17y+9=0 7x-8y-1=0

，解得

x=- 11 27 y=- 13 27

，（2分）
所以交點坐標為(-

11

27

，-

13

27

)．
又因為直線斜率為k=2，（3分）所以求得直線方程為6x-3y+1=0（4分）
（2）因為直線l的方程為mx+4y+2m-8=0，
即4（y-2）+m（x+2）=0，直線l過定點M（-2，2）．（6分）
將圓的方程化為標準方程為（x-2）²+（y+3）²=42
所以圓心C坐標為（2，-3），半徑為

42

．因為

(2+2)2+(2+3)2

=

41

＜

42

所以點（-2，2）在圓內，所以直線l和圓必相交．（8分）
當直線l被圓截得的弦長最短時，直線l與CM所在直線垂直，（10分）
因為CM所在的直線斜率為k=

2-(-3)

-2-2

=-

5

4

，所以直線l的斜率為

4

5

，
所以直線l的方程為y-2=

4

5

(x+2)，即4x-5y+18=0．（12分）

點評：本題主要考查直線與圓的位置關系及其方程的應用，主要涉及了旋轉直線系，直線與圓相交弦長的最值問題．