Question

【題目】已知橢圓的方程為，兩焦點，點在橢圓上．

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，動直線與橢圓有且僅有一個公共點，點、是直線上的兩點，且.求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）本問考查橢圓標準方程的求法，可以采用待定系數法，即根據已知條件列方程組，解方程組，就可以求出橢圓的方程，另外本題也可以利用橢圓定義求標準方程，即，根據兩點間距離公式，可以求出的值，這樣也可以得到橢圓標準方程；（2）本問考查直線與橢圓的綜合問題，由于直線與橢圓相切，因此通過聯立方程，消元，所得一元二次方程滿足判別式，可以得到之間的關系式，轉化為關于一個變量的問題，接下來分別求出兩焦點到直線的距離，根據四邊形的面積為，于是問題轉化為求的值，由圖形，過點向作垂線，垂足為，則，而，于是可以將四邊形的面積表示為關于的表達式，進而可以求出最大值.

試題解析：（1）依題意，點在橢圓．

∵，

又∵，∴．

∴橢圓的方程為.

（2）將直線的方程代入橢圓的方程中，得

.

由直線與橢圓僅有一個公共點知， ,

化簡得： .

設，

∵，

.

∴，

四邊形的面積，

.

當且僅當時， ，故.

所以四邊形的面積的最大值為.