Question

已知復數z滿足：z²+z+1=0，則1+z+z²+z³+…+z²⁰⁰⁷=

1

．

Answer 1

分析：先把z求出來，再找到z的特性，然后把問題分組，構造z²+z+1，利用z²+z+1=0和z的特性即可求值

解答：解：∵復數z滿足z²+z+1=0
∴z=

-1± 3 i

2

∴z³=1
又1+z+z²+z³+…+z²⁰⁰⁷=（1+z+z²）+（z³+z⁴+z⁵）+（z⁶+z⁷+z⁸）+…+（z²⁰⁰⁴+z²⁰⁰⁵+z²⁰⁰⁶）+z²⁰⁰⁷
=（1+z+z²）+z³（1+z+z²）+z⁶（1+z+z²）+…+z²⁰⁰⁴（1+z+z²）+z²⁰⁰⁷=z²⁰⁰⁷=（z³）⁶⁶⁹=1

點評：本題考查復數運算，要注意問題的變形和條件的靈活應用．屬簡單題