Question

甲、乙兩人同時參加奧運志愿者選拔賽的考試，已知在備選的10道題中，甲能答對其中的6道題，乙能答對其中的8道題．規定每次考試都從備選題中隨機抽出3道題進行測試，至少答對2道題才能入選．
（I）求甲答對試題數ξ的分布列及數學期望；
（II）求甲、乙兩人至少有一人入選的概率．

Answer 1

分析：對于（I）求甲答對試題數ξ的分布列及數學期望，因為隨機抽出3道題進行測試，故甲答對試題數ξ的可能取值為0，1，2，3，然后分別求出每種取值的概率，即可得到分布列，由分布列和期望公式求得期望即可．
對于（II）求甲、乙兩人至少有一人入選的概率，可以設甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B，分別求出事件A、B的概率．然后根據相互獨立事件的概率乘法公式求得兩人都不入選的概率．題目求至少一人入選，可以用1減去兩人都不入選的概率即可．

解答：解：（I）依題意，甲答對試題數ξ的可能取值為0，1，2，3，
則P(ξ=0)=

C 3 4

C 3 10

=

1

30

，
P(ξ=1)=

C 1 6 • C 2 4

C 3 10

=

3

10

，
P(ξ=2)=

C 2 6 • C 1 4

C 3 10

=

1

2

，
P(ξ=3)=

C 3 6

C 3 10

=

1

6

.．
∴ξ的分布列為

甲答對試題數ξ的數學期望為Eξ=0×

1

30

+1×

3

10

+2×

1

2

+3×

1

6

=

9

5

.
（II）設甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B，則P(A)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=

2

3

，P(B)=

C 2 8 C 1 2 + C 3 8

C 3 10

=

56+56

120

=

14

15

.
因為事件A、B相互獨立，
∴甲、乙兩人考試均不合格的概率為P(

.

A

•

.

B

)=P(

.

A

)•P(

.

B

)=[1-

2

3

][1-

14

15

]=

1

45

.
∴甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為P=1-P(

.

A

•

.

B

)=1-

1

45

=

44

45

.
故甲、乙兩人于少有一人考試合格的概率為

44

45

.．

點評：此題主要考查離散型隨機變量的分布列及期望的求法，其中涉及到相互獨立事件概率乘法公式的應用問題，題目涵蓋知識點多有一定的技巧性，屬于中檔題目．