Question

（08年福建卷理）（本小題滿分12分）

　　　如圖，在四棱錐中，則面PAD⊥底面，側棱，底面為直角梯形，其中

，，O為中點。

（Ⅰ）求證：PO⊥平面；

（Ⅱ）求異面直線PD與CD所成角的大小；

（Ⅲ）線段AD上是否存在點Q，使得它到平面PCD的距離為？若存在，求出　的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解析：

解法一：

　　（Ⅰ）證明：在△PAD中PA=PD，O為AD中點，所以PO⊥AD,

又側面PAD⊥底面ABCD，平面平面ABCD=AD，平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD．

（Ⅱ）連結BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，，

有OD∥BC且OD=BC，所以四邊形OBCD是平行四邊形，所以OB∥DC．

由（Ⅰ）知，PO⊥OB，∠PBO為銳角，

所以∠PBO是異面直線PB與CD所成的角．

因為，

在Rt△AOB中，AB=1，AO=1，

所以OB＝，

在Rt△POA中，因為AP＝，AO＝1，所以OP＝1，

在Rt△PBO中，tan∠PBO＝

所以異面直線PB與CD所成的角是．

（Ⅲ）假設存在點Q，使得它到平面PCD的距離為．

　　　設，則，由（Ⅱ）得CD=OB=，

　　　在Rt△POC中，

所以PC=CD=DP,

由得，解得，

所以存在點Q滿足題意，此時．

解法二：

(Ⅰ)同解法一.

 

 (Ⅱ)以為坐標原點，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系,依題意，易得，

    所以

    ．

所以異面直線與所成的角是．

 (Ⅲ)假設存在點，使得它到平面PCD的距離為，

由(Ⅱ)知

設平面的法向量為.

則所以    即，

取,得平面PCD的一個法向量為.

設由，得

解或(舍去)，此時，

所以存在點Q滿足題意，此時.

【高考考點】本小題主要考查直線與平面位置關系、異面直線所成角、點到平面的距離等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力。

【易錯提醒】第一問就建立坐標系的就會導致錯誤.再者就是線與線所成角應該在才可

【備考提示】因為立幾的難度一再降低,所以一定要求學生掌握坐標法,勞記公式.