Question

設F₁、F₂分別是橢圓

x2

4

+y²=1的左、右焦點．
（Ⅰ）若P是該橢圓上的一個動點，求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值；
（Ⅱ）設過定點M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意，求出a，b，c的值，然后設P的坐標，根據PF₁•PF₂的表達式，按照一元二次函數求最值方法求解．
（Ⅱ）設出直線方程，與已知橢圓聯立方程組，運用設而不求韋達定理求出根的關系，求出k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意易知a=2，b=1，c=

3

所以F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，
設P（x，y），
則

PF1

•

PF2

=(-

3

-x，-y)•(

3

-x，-y)=x2+y2-3=x2+1-

x2

4

-3=

1

4

(3x2-8)
因為x∈[-2，2]，
故當x=0，即點P為橢圓短軸端點時，

PF1

•

PF2

有最小值-2
當x=±2，即點P為橢圓長軸端點時，

PF1

•

PF2

有最大值1

（Ⅱ）顯然直線x=0不滿足題設條件，
可設直線l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯立

y=kx+2 x2 4 +y2=1

，消去y，整理得：(k2+

1

4

)x2+4kx+3=0
∴x1+x2=-

4k

k2+ 1 4

，x1•x2=

3

k2+ 1 4

由△=(4k)2-4(k+

1

4

)×3=4k2-3＞0得：k＜-

3

2

或k＞

3

2

，
又0°＜∠A0B＜90°?cos∠A0B＞0?

OA

•

OB

＞0
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2＞0
又y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）
=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=

3k2

k2+ 1 4

+

-8k2

k2+ 1 4

+4=

-k2+1

k2+ 1 4

∵

3

k2+ 1 4

+

-k2+1

k2+ 1 4

＞0，
即k²＜4∴-2＜k＜2
故由①、②得：
-2＜k＜-

3

2

或

3

2

＜k＜2．

點評：本題主要考查直線、橢圓、平面向量的數量積等基礎知識，以及綜合應用數學知識解決問題及推理計算能力．本題為中檔題，需要熟練運用設而不求韋達定理．