Question

（2013•溫州一模）方程（x-1）•sinπx=1在（-1，3）上有四個(gè)不同的根x₁，x₂，x₃，x₄，則x₁+x₂+x₃+x₄

4

．

Answer 1

分析：方程（x-1）•sinπx=1即sinπx=

1

x-1

．根據(jù)函數(shù)f（x）=sinπx和g（x）=

1

x-1

的解析式，可以得到函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，因此sinπx=

1

x-1

．的四個(gè)根分別為x₁、x₂、x₃、x₄兩兩關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，因此x₁+x₂+x₃+x₄=4．

解答：解：方程（x-1）•sinπx=1即sinπx=

1

x-1

．
設(shè)函數(shù)f（x）=sinπx和g（x）=

1

x-1

．其圖象如圖所示．
則這兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，
∵方程（x-1）•sinπx=1在（-1，3）上有四個(gè)不同的根x₁，x₂，x₃，x₄，
∴x₁+x₂+x₃+x₄=4，
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，根據(jù)函數(shù)的解析式求得函數(shù)的對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵，屬中檔題．