Question

【題目】如圖，直角梯形中， ，等腰梯形中， ，且平面平面．

（1）求證： 平面；

（2）若與平面所成角為，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：

（1）直接利用面面垂直的性質定理可證；

（2）設，計算后可證OF//BE，從而由已知可證OF⊥平面ABCD，因此可以OA，OB，OF為坐標軸建立空要間直角坐標系，利用向量法求二面角．

試題解析：

（1）∵平面平面， ，平面平面，

又平面，∴平面；

（2）設，∵四邊形為等腰梯形， ，

∴，

∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，

又∵平面，∴平面，

∴為與平面所成的角，∴，

又∵，∴，

以為原點， 為軸， 為軸， 為軸，建立空間直角坐標系，

則， ，

∵平面，∴平面的法向量為，

設平面的一個法向量為，

由得，令得， ，

，∴二面角的余弦值為．