Question

（2013•嘉定區一模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）被圍于由4條直線x=±a，y=±b所圍成的矩形ABCD內，任取橢圓上一點P，若

OP

=m•

OA

+n•

OB

（m、n∈R），則m、n滿足的一個等式是

m²+n²=

1

2

．

Answer 1

分析：由題意可求得A（a，b），B（-a，b），設P（x₀，y₀），由

OP

=m•

OA

+n•

OB

（m、n∈R），可求得x₀，y₀，代入橢圓方程即可．

解答：解：依題意，A（a，b），B（-a，b），設P（x₀，y₀），
∵

OP

=m•

OA

+n•

OB

（m、n∈R），
∴x₀=ma-na，y₀=mb+nb，
∵P（x₀，y₀）為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的一點，
∴（m-n）²+（m+n）²=1，
∴m²+n²=

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點評：本題考查平面向量的基本定理及其意義，考查橢圓的簡單性質，考查分析與轉化能力，屬于中檔題．