Question

已知函數y=f(x)的定義域為R，且對任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)，且當x＞0時，f(x)＜0恒成立，f(3)=-3.

(1)證明：函數y=f(x)是R上的減函數；

（2）證明：函數y=f(x)是奇函數；

（3）試求函數y=f(x)在［m,n］（m,n∈Z）上的值域.

Answer 1

解析:

（1）證明  設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂,f(x₂)=f［x₁+(x₂-x₁)］=f(x₁)+f(x₂-x₁).

∵x₂-x₁＞0,∴f(x₂-x₁)＜0.∴f(x₂)=f(x₁)+f(x₂-x₁)＜f(x₁).

故f(x)是R上的減函數.

（2）證明  ∵f（a+b）=f（a）+f（b）恒成立，∴可令a=-b=x,則有f（x）+f（-x）=f（0），

又令a=b=0,則有f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.從而x∈R，f（x）+f（-x）=0，

∴f（-x）=-f（x）.故y=f(x)是奇函數.

（3）解  由于y=f(x)是R上的單調遞減函數，

∴y=f（x）在［m，n］上也是減函數，故f(x)在［m，n］上的最大值f(x)_max=f(m),最小值f(x)_min=f(n).

由于f(n)=f(1+(n-1))=f(1)+f(n-1)=…=nf(1),同理f(m)=mf(1).

又f(3)=3f(1)=-3,∴f(1)=-1,∴f(m)=-m, f(n)=-n.

∴函數y=f(x)在［m,n］上的值域為［-n,-m］.