Question

【題目】對于數列，稱（其中）為數列的前k項“波動均值”.若對任意的，都有，則稱數列為“趨穩數列”．

（1）若數列1，，2為“趨穩數列”，求的取值范圍；

（2）若各項均為正數的等比數列的公比，求證：是“趨穩數列”；

（3）已知數列的首項為1，各項均為整數，前項的和為. 且對任意，都有， 試計算： （）．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析，(3)

【解析】

（1）由新定義可得，解不等式可得的范圍；（2）運用等比數列的通項公式和求和公式，結合新定義，運用不等式的性質即可得證；（3）由任意，，都有，可得，由等比數列的通項公式，可得，結合新定義和二項式定理，化簡整理即可得到所求值．

（1）由題意，即，

解得 ，

（2）由已知，設，因且，故對任意的，都有，

∴ ，

因∴

∴,,,,,

∴，

∴

∴

∴

即對任意的，都有，故是“趨穩數列”，

(3) 當時，

當時，

∴

同理，，

因

∴

即 ，

所以 或

所以 或

因為，且，所以， 從而，

所以

.