Question

已知過點A（0，4）的直線l與以F為焦點的拋物線C：x²=py相切于點T（-4，y_o）；中心在坐標原點，一個焦點為F的橢圓與直線l有公共點．
（1）求直線l的方程和焦點F的坐標；
（2）求當橢圓的離心率最大時橢圓的方程；
（3）設點M（x₁，y_l）是拋物線C上任意一點，D（0，-2）為定點，是否存在垂直于y軸的直線l′被以MD為直徑的圓截得的弦長為定值？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用過點A（0，4）的直線l與以F為焦點的拋物線C：x²=py相切于點T（-4，y_o），即可求得直線l的方程和焦點F的坐標；
（2）先確定e=

c

a

=

1

a

，從而當e最大時，a取得最小，即在直線l上找一點P，使得|PF₁|+|PF₂|最小，求出F₂（0，-1）關于2x-y+4=0對稱點的坐標，即可求橢圓方程；
（3）假設l′存在為y=b，求出以MD為直徑的圓N的圓心坐標，求出半徑為r、N到直線l′的距離，從而可計算弦長，即可得到結論．

解答：解：（1）∵y=

x2

p

，∴y′=

2x

p

，∴l：y-y0=

2×(-4)

p

[x-(-4)]
∵直線l過點A（0，4），∴4-

16

p

=

-8

p

(0+4)，∴p=-4
∴l的方程為2x-y+4=0，焦點F的坐標為（0，-1）…（4分）
（2）設橢圓為

y2

a2

+

x2

a2-1

=1（a＞1），F₁（0，1），F₂（0，-1），則e=

c

a

=

1

a

，當e最大時，a取得最小
則在直線l上找一點P，使得|PF₁|+|PF₂|最小
設F₂（0，-1）關于2x-y+4=0對稱點為F₂′（x₀，y₀）     …（6分）

2• 0+x0 2 - -1+y0 2 +4=0 y0-(-1) x0-0 .2=-1

，解得

x0=-4 y0=1

∴2a=|PF1|+|PF2|=|PF1|+|P

F

/ 2

|=|F1

F

/ 2

|=

(-4-0)2+(1-1)2

=2…（8分）
∴所求橢圓方程為

y2

4

+

x2

3

=1…（9分）
（3）假設l′存在為y=b，以MD為直徑的圓N的圓心為N(

x1

2

，

- x 2 1 4 -2

2

)
半徑為r=|ND|=

( x1 2 -0)2+( - x 2 1 4 -2 2 -(-2))2

…l0分
N到直線l′的距離為d=|

- x 2 1 4 -2

2

-b|=|

x 2 1

8

+1+b|
∵r2=1+

x 4 1

64

 ，d2=

x 4 1

64

+1+b2+

x 2 1

4

+

x 2 1

4

•b+2b
∴弦長=2

r2-d2

=2

- x 2 1 4 (b+1)-b2-2b

…（12分）
∴當b=-1時，弦長為定值2                             …（13分）
即l′為y=-1時，垂直于y軸的直線l′被以MD為直徑 的圓截得的弦長為定值2．…（14分）

點評：本題考查直線、拋物線、橢圓方程的求解，考查弦長的計算，考查對稱點的求解，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．