Question

設函數，求證：
（1）；
（2）函數f（x）在區間（0，2）內至少有一個零點；
（3）設x₁，x₂是函數f（x）的兩個零點，則．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知，得出＞0，b＜0，2c=-3a-2b，利用不等式基本性質，即可證明．
（2）可以證出當c＞0時，f（0）f（1）＜0，當c≤0時，f（2）f（1）＜0，根據零點存在性定理，即可證出．
（3）x₁，x₂是函數f（x）的兩個零點，則x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的兩根，利用二次方程根與系數的關系，得出，再結合（1）進行證明即可．
解答：證明：（1）∵∴3a+2b+2c=0
又3a＞2c＞2b∴3a＞0，2b＜0∴a＞0，b＜0…（2分）
又2c=-3a-2b  由3a＞2c＞2b∴3a＞-3a-2b＞2b
∵a＞0∴…（4分）
（2）∵f（0）=c，f（2）=4a+2b+c=a-c…（6分）
①當c＞0時，∵a＞0，∴f（0）=c＞0且
∴函數f（x）在區間（0，1）內至少有一個零點…（8分）
②當c≤0時，∵a＞0∴
∴函數f（x）在區間（1，2）內至少有一個零點．
綜合①②得f（x）在（0，2）內至少有一個零點…（10分）
（3）∵x₁，x₂是函數f（x）的兩個零點
則x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的兩根
∴…（12分）∴
∵∴…（15分）
點評：本題是函數與不等式、方程的結合．考查二次函數性質、函數零點、不等式的證明，考查計算、論證能力．