Question

【題目】如圖，與都是邊長為2的正三角形，平面平面，平面，.

（1）求點到平面的距離；

（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】

解法一：（1）等體積法．

取CD中點O，連OB，OM，則OB=OM=，OB⊥CD，MO⊥CD．

又平面平面,則MO⊥平面，所以MO∥AB，MO∥平面ABC．M、O到平面ABC的距離相等．

作OH⊥BC于H，連MH，則MH⊥BC．

求得OH=OC，

MH=．

設點到平面的距離為d，由得．

即，

解得．

（2）延長AM、BO相交于E，連CE、DE，CE是平面與平面的交線．

由（1）知，O是BE的中點，則BCED是菱形.

作BF⊥EC于F，連AF，則AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，設為.

因為∠BCE=120°，所以∠BCF=60°.

，

，.

則所求二面角的正弦值為

解法二：取CD中點O，連OB，OM，則

OB⊥CD，OM⊥CD．又平面平面,則MO⊥平面.

取O為原點，直線OC、BO、OM為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系如圖．OB=OM=，則各點坐標分別為C（1，0，0），M（0，0，），B（0，，0），A（0，-，）.

（1）設是平面MBC的法向量，則,.

由得；

由得．

取．，則

．

（2），.

設平面ACM的法向量為，由得解得，，取.又平面BCD的法向量為.

所以，

設所求二面角為，則.