Question

在極坐標系內，已知曲線的方程為，以極點為原點，極軸方向為正半軸方向，利用相同單位長度建立平面直角坐標系，曲線的參數方程為（為參數）.

(1) 求曲線的直角坐標方程以及曲線的普通方程；

(2) 設點為曲線上的動點，過點作曲線的兩條切線，求這兩條切線所成角余弦值的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(1) ,;(2)

【解析】

試題分析：本小題主要考查極坐標與參數方程的相關知識，具體涉及到極坐標方程與平面直角坐標方程的互化、直線與曲線的位置關系以及有關距離等知識內容.(1)利用極坐標轉化公式直接轉化求圓的方程，利用消掉參數的方法得到直線的普通方程；（2）首先確定兩切線成角最大的情況，借助點到直線的距離和二倍角公式探求余弦值最小，進而得到取值范圍.

試題解析：(1) 對于曲線的方程為，

可化為直角坐標方程，即；

對于曲線的參數方程為（為參數），可化為普通方程.        (5分)

(2) 過圓心點作直線的垂線，此時兩切線成角最大，即余弦值最小. 則由點到直線的距離公式可知，

，則，因此，

因此兩條切線所成角的余弦值的取值范圍是.                       (10分) 

考點：(1)極坐標方程與平面直角坐標方程的互化;(2)直線與曲線的位置關系;(3)點到直線的距離.