Question

（2013•綿陽二模）對一切實數x，不等式x²+a|x|+1≥0恒成立，則實數a的取值范圍是（　　）

A．（-∞，-2）

B．[-2，+∞）

C．[-2，2]

D．[0，+∞）

Answer 1

分析：當x=0時，不等式x²+a|x|+1≥0恒成立，當x≠0時，則有 a≥-（|x|+

1

|x|

） 恒成立，故a大于或等于-（|x|+

1

|x|

） 的最大值．再利用基本不等式求得 （|x|+

1

|x|

）得最大值，即可得到實數a的取值范圍．

解答：解：當x=0時，不等式x²+a|x|+1≥0恒成立，當x≠0時，則有 a≥

-1-|x|2

|x|

=-（|x|+

1

|x|

），故a大于或等于-（|x|+

1

|x|

） 的最大值．
由基本不等式可得 （|x|+

1

|x|

）≥2，∴-（|x|+

1

|x|

）≥-2，即-（|x|+

1

|x|

） 的最大值為-2，
故實數a的取值范圍是[-2，+∞），
故選B．

點評：本題主要考查函數的恒成立問題，基本不等式的應用，求函數的最值，體現了分類討論的數學思想，屬于基礎題．