Question

函數y=f（x）在區間（0，+∞）內可導，導函數f'（x）是減函數，且f′（x）＞0。設x₀∈（0，+∞），y=kx+m是曲線y=f（x）在點（x₀，f（x₀））的切線方程，并設函數g（x）=kx+m。
（1）用x₀、f（x₀）、f′（x₀）表示m；
（2）證明：當x₀∈（0，+∞）時，g（x）≥f（x）；
（3）若關于x的不等式x²+1≥ax+b≥在上恒成立，其中a、b為實數，求b的取值范圍及a與b所滿足的關系。

Answer 1

解：（1）。
（2）令
則
因為遞減，
所以遞增，
因此，當時，
當時，
所以是h（x）唯一的極值點，且是極小值點，
可知h（x）的最小值為0，
因此
即。
（3），是不等式成立的必要條件，以下討論設此條件成立
，即對任意成立的充要條件是

另一方面，由于滿足前述題設中關于函數的條件，
利用（2）的結果可知，的充要條件是：過點（0，b）與曲線相切的直線的斜率大于，該切線的方程為
于是的充要條件是
綜上，不等式對任意成立的充要條件是
 ①
顯然，存在a、b使①式成立的充要條件是：不等式 ②有解
解不等式②得③
因此，③式即為b的取值范圍，①式即為實數在a與b所滿足的關系。