Question

（本小題滿分13分）

如圖所示，橢圓C：的一個焦點為 F(1,0)，且過點。

(1)求橢圓C的方程;

(2)已知A、B為橢圓上的點，且直線AB垂直于軸，  

直線：＝4與軸交于點N，直線AF與BN交

于點M。

(ⅰ)求證：點M恒在橢圓C上；

(ⅱ)求△AMN面積的最大值．

Answer 1

(1)解：由題設，從而，

所以橢圓C的方程為                    ………………………………3分

(2)(i)證明：由題意得F(1,0)、N(4,0)．

設，則，.

AF與BN的方程分別為：

.

設，則有

由上得                      ………………………………6分

由于

＝＝1.

所以點M恒在橢圓C上．                                 ………………………………8分

(ⅱ)解：設AM的方程為，代入，

得

設、，則有，.

＝＝. ………………………10分

令，則

＝

因為函數在為增函數，

所以當即時，函數有最小值4.

即時,有最大值3，                   

△AMN的面積S_△AMN＝·有最大值 .        …………………13分