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已知函數 $數學公式$
（1）若函數在x=1處的切線l與直線y=4x+3平行，求實數a的值；
（2）若函數f（x）在（2，+∞）上存在單調遞增區間，求實數a的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，設函數 $數學公式$ ，若方程g（x）-m=0在區間[-2，2]上有兩個不相等的實數根，求實數m的取值范圍．

解：（1）求導函數f′（x）=ax²+2x-1
∵函數在x=1處的切線l與直線y=4x+3平行，
∴f′（1）=a+1=4
∴a=3
（2）求導函數f′（x）=ax²+2x-1，函數f（x）在（2，+∞）上存在單調遞增區間，只需f′（x）=ax²+2x-1＞0在（2，+∞）上有解即可
f′（x）=ax²+2x-1＞0在（2，+∞）上有解，即 $\text{[math]}$ 在（2，+∞）上有解
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴實數a的取值范圍是 $\text{[math]}$
（3）函數 $\text{[math]}$ ，若方程g（x）-m=0在區間[-2，2]上有兩個不相等的實數根，只需要g（x）的圖象y=m有兩個不同的交點
當x≥1時，g（x）= $\text{[math]}$ ，g′（x）= $\text{[math]}$ ＞0，函數g（x）單調遞增
當x＜1時，g（x）= $\text{[math]}$ ，g′（x）=- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
令g′（x）＞0，可得 $\text{[math]}$ ＜x $\text{[math]}$ ，令g′（x）＜0，可得x＜ $\text{[math]}$ ，或x $\text{[math]}$ ，
∴函數在 $\text{[math]}$ 上單調減，（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）上單調增， $\text{[math]}$ 上單調減，（1，2）上單調增
∴當 $\text{[math]}$ 時，g（x）取得極小值 $\text{[math]}$ ．當 $\text{[math]}$ 時，g（x）取得極大值 $\text{[math]}$ ．g（-2）= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 時，g（x）的圖象y=m有兩個不同的交點，方程g（x）-m=0在區間[-2，2]上有兩個不相等的實數根
∴實數m的取值范圍為 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）求導函數，利用導數的幾何意義，結合函數在x=1處的切線l與直線y=4x+3平行，可實數a的值；
（2）求導函數f′（x）=ax²+2x-1，函數f（x）在（2，+∞）上存在單調遞增區間，只需f′（x）=ax²+2x-1＞0在（2，+∞）上有解即可；
（3）函數 $\text{[math]}$ ，若方程g（x）-m=0在區間[-2，2]上有兩個不相等的實數根，只需要g（x）的圖象y=m有兩個不同的交點．
點評：本題重點考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，考查利用導數研究函數的圖象，綜合性強．

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