Question

（本小題滿分14分）已知.
（1）若，函數在其定義域內是增函數，求的取值范圍.
（2）在（1）的結論下，設，求函數的最小值；
（3）若的圖象與軸交于，中點為，求證：.

Answer 1

（1）（2）同解析（3）同解析

（1）依題意：
∵在遞增
∴對恒成立   ………………1分
∴  …………………2分
∵
∴ ………………3分
當且僅當時取“”，
∴， …………………4分
且當時，，
，
∴符合在是增函數
∴
(2)設,∵
∴， 則函數化為:
，  …………………6分
當時,即時.在遞增
∴當時,
②當時,即,當
③當,即時,在遞減,當時,
綜上:    …………………9分
(3)依題意:，假設結論不成立，
則有  ……………②
由①②得：  ④  ………………10分
由③知代入④
得
∴ 即  …………………11分
令 則   …………⑤  ……………………12分
令 
∵ ∴在遞增    …………………13分
∴ 即  
與⑤式矛盾
∴假設不成立
∴  ………………………14分