Question

已知二次函數y=f₁（x）的圖象以原點為頂點且過點（1，1），反比例函數y=f₂（x）的圖象過點（1，8），f（x）=f₁（x）+f₂（x）．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）證明：當a＞3時，函數g（x）=f（x）-f（a）有三個零點．

Answer 1

分析：（1）由題意已知二次函數y=f₁（x）的圖象以原點為頂點且過點（1，1），設出函數的解析式，然后根據待定系數法求出函數的解析式；
（2）由已知f（x）=f（a），得x²+

8

x

=a²+

8

a

，在同一坐標系內作出f₂（x）=

8

x

和f₃（x）=-x²+a²+

8

a

的大致圖象，然后利用數形結合進行討論求證．

解答：解：（1）由已知，設f₁（x）=ax²，由f₁（1）=1，得a=1，
∴f₁（x）=x²．
設f₂（x）=

k

x

（k＞0），它的圖象與直線y=x的交點分別為
A（

k

，

k

）B（-

k

，-

k

）
由|AB|=8，得k=8，．∴f₂（x）=

8

x

．故f（x）=x²+

8

x

．
（2）：f（x）=f（a），得x²+

8

x

=a²+

8

a

，
即

8

x

=-x²+a²+

8

a

．
在同一坐標系內作出f₂（x）=

8

x

和f₃（x）=-x²+a²+

8

a

的大致圖象，
其中f₂（x）的圖象是以坐標軸為漸近線，且位于第一、三象限的雙曲線，
f₃（x）與的圖象是以（0，a²+

8

a

）為頂點，開口向下的拋物線．
因此，f₂（x）與f₃（x）的圖象在第三象限有一個交點，
即f（x）=f（a）有一個負數解．
又∵f₂（2）=4，f₃（2）=-4+a²+

8

a

當a＞3時，．f₃（2）-f₂（2）=a²+

8

a

-8＞0，
∴當a＞3時，在第一象限f₃（x）的圖象上存在一點（2，f（2））在f₂（x）圖象的上方．
∴f₂（x）與f₃（x）的圖象在第一象限有兩個交點，即f（x）=f（a）有兩個正數解．
因此，函數g（x）=f（x）-f（a）有三個零點．

點評：此題考查了方程根的存在性及其個數的判斷，還考查了待定系數法求函數的解析式，綜合性比較強，難度比較大．