Question

設f₀(x)＝cos x，f₁(x)＝f₀′(x)，f₂(x)＝f₁′(x)，…，f_n+1(x)＝f_n′(x)，n∈N^*，則f₂₀₁₁(x)＝

1. A.
   -sin x
2. B.
   -cos x
3. C.
   sin x
4. D.
   cos x

Answer 1

C
由已知，f₀（x）=cosx，f₁（x）=f₀′（x）=-sinx，f₂（x）=f₁′（x）=-cosx，f₃（x）=f₂′（x）=sinx，f₄（x）=f₃′（x）=cosx，發現f_n（x）以4為周期，結果循環出現，
利用此規律將n=2011轉化為n=3的情況求解．
解：∵f₀（x）=cosx，
∴f₁（x）=f₀′（x）=-sinx，
f₂（x）=f₁′（x）=-cosx，
f₃（x）=f₂′（x）=sinx，
f₄（x）=f₃′（x）=cosx
…
從第五項開始，f_n（x）的解析式重復出現，每4次一循環．
∴f₂₀₁₁（x）=f_4×502+3（x）=f₃（x）=sinx，
故答案為C