Question

【題目】已知函數(mR)的導函數為．

（1）若函數存在極值，求m的取值范圍；

（2）設函數（其中e為自然對數的底數），對任意mR，若關于x的不等式在(0，)上恒成立，求正整數k的取值集合．

Answer 1

【答案】（1）（2）{1，2}．

【解析】

（1）求解導數，表示出，再利用的導數可求m的取值范圍；

（2）表示出，結合二次函數知識求出的最小值，再結合導數及基本不等式求出的最值，從而可求正整數k的取值集合．

（1）因為，所以，

所以，

則，

由題意可知，解得；

（2）由（1）可知，，

所以

因為

整理得，

設，則，所以單調遞增，

又因為，

所以存在，使得，

設，是關于開口向上的二次函數，

則，

設，則，令，則，

所以單調遞增，因為，

所以存在，使得，即，

當時，，當時，，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，

因為，所以，

又由題意可知，所以，

解得，所以正整數k的取值集合為{1，2}．