Question

在△OAB中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（1，cosθ），B（sin θ，1），則△OAB的面積的取值范圍是（　　）

• A．（0，1]
• B．[

  1

  2

  ，

  3

  2

  ]
• C．[

  1

  4

  ，

  3

  2

  ]
• D．[

  1

  4

  ，

  3

  4

  ]

Answer 1

分析：根據(jù)題意在平面直角坐標(biāo)系中，畫出單位圓O，單位圓O與x軸交于M，與y軸交于N，過M，N作y軸和x軸的平行線交于P，角θ如圖所示，所以三角形AOB的面積就等于正方形OMPN的面積減去三角形OAM的面積減去三角形OBN的面積，再減去三角形APB的面積，分別求出各自的面積，利用二倍角的正弦函數(shù)公式得到一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域及角度的范圍即可得到三角形面積最大值和最小值．

解答：解：如圖單位圓O與x軸交于M，與y軸交于N，
過M，N作y軸和x軸的平行線交于P，
則S_△OAB=S_{正方形OMPN}-S_△OMA-S_△ONB-S_△ABP
=1-

1

2

（sinθ×1）-

1

2

（cosθ×1）-

1

2

（1-sinθ）（1-cosθ）
=

1

2

-

1

2

sincosθ=

1

2

-

1

4

sin2θ
因?yàn)棣取蔙，2θ∈R，
所以當(dāng)2θ=

π

2

即θ=

π

4

時(shí)，sin2θ最大，
三角形的面積最小，最小面積為

1

4

．
當(dāng)2θ=-

π

2

即θ=-

π

4

時(shí)，sin2θ最小，
三角形的面積最大，最大面積為

3

4

．
△OAB的面積的取值范圍是：[

1

4

，

3

4

]．
故選D．

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡求值，利用運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問題，掌握利用正弦函數(shù)的值域求函數(shù)最值的方法，是一道中檔題．