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2025年基礎訓練大象出版社九年級數學全一冊人教版
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1. (★)有一塊面積為 900 平方米的矩形綠地,并且長比寬多 10 米,則綠地的長和寬各是多少? 設綠地的寬為 $ x $ 米,則綠地的長為 $ (x + 10) $ 米,可列出關于 $ x $ 的方程為
$x(x + 10) = 900$
.
答案：$x(x + 10) = 900$
解析：
設綠地的寬為$x$米，長比寬多10米，則長為$(x + 10)$米。
根據矩形面積公式：面積 = 長 × 寬，列出方程：
$x(x + 10) = 900$
2. (★)有下列各數:①$-3$,②$-2$,③$-1$,④$1$.其中是方程 $ x^{2} + 2x - 3 = 0 $ 的解的是【
C
】
A.①②
B.①③
C.①④
D.②③
答案：C
解析：
將各數分別代入方程 $x^{2} + 2x - 3 = 0$ 進行驗證：
① 當 $x = -3$ 時，$(-3)^{2} + 2 × (-3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0$，滿足方程。
② 當 $x = -2$ 時，$(-2)^{2} + 2 × (-2) - 3 = 4 - 4 - 3 = -3 \neq 0$，不滿足方程。
③ 當 $x = -1$ 時，$(-1)^{2} + 2 × (-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 \neq 0$，不滿足方程。
④ 當 $x = 1$ 時，$1^{2} + 2 × 1 - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$，滿足方程。
因此，滿足方程的是①和④。
3. (★)等號兩邊都是整式,只含有
1
個未知數,并且未知數的最高次數是
2
的方程,叫做一元二次方程. 一元二次方程的一般形式是
$ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$）
,其中
$a$
是二次項系數,
$b$
是一次項系數,
$c$
是常數項.
答案：1；2；$ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$）；$a$；$b$；$c$
解析：
根據一元二次方程的定義，等號兩邊都是整式，只含有1個未知數，并且未知數的最高次數是2的方程，叫做一元二次方程。其一般形式是$ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$），其中$a$是二次項系數，$b$是一次項系數，$c$是常數項。
4. (★)使一元二次方程
左右兩邊相等
的未知數的值就是這個一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的
根
.
答案：左右兩邊相等；根
解析：
根據一元二次方程解的定義，使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值就是這個一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
5. (★)學校勞動實踐基地里有一塊長 20 米、寬 10 米的矩形空地,為了管理方便,準備沿平行于兩邊的方向縱、橫開辟三條等寬的小道(如圖 21.1 - 1 中陰影部分所示),剩下部分種植實驗作物. 已知種植實驗作物的面積為 171 平方米,設小道的寬為 $ x $ 米,則根據題意可列方程為______.
答案：$(20 - x)(10 - x) = 171$
解析：
根據種植面積為171平方米，可列方程$(20 - x)(10 - x) = 171$。
6. (★)有下列方程:①$ 3x^{2} + 7 = 0 $;②$ ax^{2} + bx + c = 0 $;③$ (x - 2)(x + 5) = x^{2} - 1 $;④$ 3x^{2} - \frac{5}{x} = 0 $. 其中是一元二次方程的有【 】
A.1 個
B.2 個
C.3 個
D.4 個
答案：A
解析：
① $3x^{2} + 7 = 0$：此方程滿足一元二次方程的定義（只含一個未知數$x$，且$x$的最高次數為2，且二次項系數不為0），所以它是一元二次方程。
② $ax^{2} + bx + c = 0$：此方程形式上看似一元二次方程，但當$a = 0$時，它退化為一元一次方程，因此，它不一定是一元二次方程。
③ $(x - 2)(x + 5) = x^{2} - 1$：展開后得到$x^2 + 3x - 10 = x^2 - 1$，化簡為$3x = 9$，這是一元一次方程，不是一元二次方程。
④ $3x^{2} - \frac{5}{x} = 0$：此方程中，由于含有$\frac{1}{x}$項，它不是整式方程，因此不是一元二次方程。
綜上所述，只有①是一元二次方程。
7. (★)已知 $ (m - 3)x^{2} - x + 2 = 0 $ 是一元二次方程,則 $ m $ 應滿足的條件是______.
答案：$m\neq3$
解析：
一元二次方程的一般形式為$ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$），題中方程$(m - 3)x^{2} - x + 2 = 0$是一元二次方程，所以二次項系數$m - 3\neq0$，解得$m\neq3$。
8. (★)一元二次方程 $ 3x(x - 2) = 2(x + 1) - 2 $ 的一般形式是【 】
A.$ 3x^{2} - 8x = 0 $
B.$ 3x^{2} - 5x + 1 = 0 $
C.$ 3x^{2} - 8x + 1 = 0 $
D.$ 3x^{2} - 5x - 1 = 0 $
答案：A
解析：
首先將方程 $3x(x - 2) = 2(x + 1) - 2$ 展開并整理：
左邊展開：$3x^2 - 6x$，
右邊展開：$2x + 2 - 2 = 2x$，
移項得：$3x^2 - 6x - 2x = 0$，
合并同類項：$3x^2 - 8x = 0$。
對比選項，A選項與上述結果一致。
9. (★★)把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并寫出它們的二次項系數、一次項系數及常數項:
(1)$ 5x = 1 - x^{2} $;
(2)$ (x + 1)^{2} + 2(x + 1) = 15 $.
答案：
(1) 解：
原方程 $5x = 1 - x^{2}$，
移項得 $x^{2} + 5x - 1 = 0$。
二次項系數為 $1$，一次項系數為 $5$，常數項為 $-1$。
(2) 解：
原方程 $(x + 1)^{2} + 2(x + 1) = 15$，
展開得 $x^{2} + 2x + 1 + 2x + 2 = 15$，
合并同類項得 $x^{2} + 4x - 12 = 0$。
二次項系數為 $1$，一次項系數為 $4$，常數項為 $-12$。
10. (★)已知關于 $ x $ 的一元二次方程 $ (a - 1)x^{2} - 2x + a^{2} - 1 = 0 $ 有一個根為 $ x = 0 $,則 $ a = $______.
答案：-1
解析：
將$x=0$代入方程$(a - 1)x^{2} - 2x + a^{2} - 1 = 0$，得$a^{2}-1=0$，解得$a=\pm1$。又因為方程是一元二次方程，所以二次項系數$a - 1\neq0$，即$a\neq1$，故$a=-1$。
11. (★)若關于 $ x $ 的方程 $ (m + 2)x^{2} - 3x + 1 = 0 $ 是一元二次方程,則 $ m $ 的取值范圍是【
C
】
A.$ m \neq 0 $
B.$ m ＞ - 2 $
C.$ m \neq - 2 $
D.$ m ＞ 0 $
答案：C
解析：
一元二次方程的一般形式為$ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 0$）。在方程$(m + 2)x^2 - 3x + 1 = 0$中，二次項系數為$m + 2$。要使該方程為一元二次方程，二次項系數不能為$0$，即$m + 2 \neq 0$，解得$m \neq -2$。
12. (★★)已知方程 $ (a + 4)x^{|a| - 2} + 8x + 1 = 0 $ 是一元二次方程,則 $ a $ 的值為______.
答案：4
解析：
根據題意，方程 $(a + 4)x^{|a| - 2} + 8x + 1 = 0$ 是一元二次方程，因此 $x$ 的最高次數為 $2$，且二次項系數不能為 $0$。
首先，最高次數條件：$|a| - 2 = 2$，解得 $|a| = 4$，即 $a = 4$ 或 $a = -4$。
其次，二次項系數條件：$a + 4 \neq 0$，即 $a \neq -4$。
綜合以上，$a = 4$。
13. (★)方程 $ 2x^{2} = 3(x - 6) $ 化為一般形式后,二次項系數、一次項系數和常數項分別為【
B
】
A.$ 2,-3,6 $
B.$ 2,-3,18 $
C.$ 2,-3,-6 $
D.$ 2,3,6 $
答案：B
解析：
將方程 $2x^2 = 3(x - 6)$ 展開并整理為一般形式：
$2x^2 = 3x - 18$
$2x^2 - 3x + 18 = 0$
因此，二次項系數為 $2$，一次項系數為 $-3$，常數項為 $18$。
14. (★★)一元二次方程 $ (3m + 6)x^{2} + 4x + m^{2} - 4 = 0 $ 的常數項是 $ 0 $,那么 $ m $ 的值為【 】
A.- 2
B.2
C.$ \pm 2 $
D.$ \pm 4 $
答案：B
解析：
根據題意，常數項為 $m^{2}-4$，且常數項等于 $0$，故有：
$m^{2}-4=0$
解得：$m^{2}=4$，$m=\pm2$。
又因為一元二次方程二次項系數 $3m+6 \neq 0$，即 $m \neq -2$，所以 $m=2$。
15. (★★)若方程 $ 2x^{2} + mx = 3x + 2 $ 中不含 $ x $ 的一次項,則 $ m $ 的值為______.
答案：3
解析：
首先將方程 $2x^2 + mx = 3x + 2$ 整理成標準形式，
移項得到：$2x^2 + mx - 3x - 2 = 0$，
合并同類項：$2x^2 + (m - 3)x - 2 = 0$。
由于方程中不含 $x$ 的一次項，所以一次項系數 $m - 3$ 必須為 $0$，
即：$m - 3 = 0$，
解得：$m = 3$。
