Question

【題目】現有4個質量均勻分布的正方體，每個正方體的邊長為L、2L、3L、4L．將邊長為4L的正方體放在水平地面上，然后將邊長為3L的正方體放在邊長為4L的正方體上表面的中央，再將邊長為2L的正方體放在邊長為3L的正方體上表面的中央。再將邊長為L的正方體放在邊長為2L的正方體上表面的中央。若在任意接觸面上的壓強均相等，且最上面邊長為L的正方體的密度為ρ，則這4個正方體中密度最小的正方體的密度等于_____ρ。

Answer 1

【答案】

【解析】

設邊長為L、2L、3L、4L的正方體密度分別為ρ1、ρ2、ρ3、ρ4，且ρ1＝ρ，設邊長為L、2L、3L、4L的正方體的重力分別為G1、G2、G3、G4，則邊長為L、2L、3L、4L的正方體底面積分別為L2、4L2、9L2、16L2，邊長為L、2L、3L、4L的正方體體積分別為L3、8L3、27L3、64L3，由題知，在任意接觸面上的壓強均相等，

所以 ① ② ③

把S1＝L2、S2＝4L2帶入①，解得G2＝3G1 ④

把S1＝L2、S3＝9L2和④帶入②，解得G3＝5G1⑤

把S1＝L2、S4＝16L2和④⑤帶入③，解得G4＝7G1⑥

根據G＝mg=ρVg，把四個正方體的體積和密度分別帶入④⑤⑥，

由④得ρ2g×8L3＝3ρgL3 ，解得，

由⑤得ρ3g×27L3＝5ρgL3 ，解得 ，

由⑥得ρ4g×64L3＝7ρgL3，解得 ，

由此可以判斷邊長為4L的正方體密度最小為 。