Question

（2011?東城區一模）如圖所示的電路中，電源兩端的電壓保持不變．閉合開關S、S₁，當滑片P移至滑動變阻器R₂的A端時，電壓表V₁的示數為U₁，電壓表V₂的示數為U₂，電流表A的示數為I₁，滑動變阻器R₂消耗的電功率P₂為3W．當只閉合開關S，將滑片P移至滑動變阻器R₂的中點時，電壓表V₁的示數為U₁′，電壓表V₂的示數為U₂′，電流表A的示數為I₂．閉合開關S、S₁，當滑片P移至滑動變阻器R₂的B端時，電流表A的示數為I₃，電阻R₃的電功率為P₃．
已知U₁=

4

5

U₁′，U₂=4U₂′．求：
（1）電流I₁與I₂的比值．
（2）電功率P₃的大小．
（3）通過斷開、閉合開關及移動滑動變阻器滑片P，電路所消耗的最小電功率P_min．（結果保留1位小數）

Answer 1

分析：（1）先畫出開關閉合和斷開、滑動變阻器處于不同位置時的等效電路圖；根據串聯電路的特點和歐姆定律求出圖1和圖2中通過R₃的電流關系，從而求出電流I₁與I₂的比值．
（2）根據串聯電路的特點和歐姆定律分別求出圖1和圖2中R₂兩端的電壓，利用U₁=

4

5

U₁′求出R₁、R₂兩電阻之間的關系；根據電源的電壓不變求出R₂、R₃之間的關系；利用電源的電壓不變求出圖3中的電流，最后根據P=I²R和圖1中R₂的功率求出電功率P₃的大小．
（3）根據P=

U2

R

可知當滑動變阻器處于最大阻值處且三電阻串聯時，電路中的總電阻最大，電路所消耗的電功率最小，畫出等效電路圖，進一步利用串聯電路的特點和電功率公式求出電路所消耗的最小電功率．

解答：解：當P在A端，閉合S、S₁時，等效電路如圖1；當P在中點，閉合S、斷開S₁時，等效電路如圖2；當P在B端，閉合S、S₁時，等效電路如圖3．

（1）由圖1和圖2可知

I1

I2

=

U2 R3

U 2 ′ R3

=

U2

U ′ 2

=

4

1

--------①
（2）由圖1可知R₂兩端的電壓為U₁=I₁R₂--------------②
由圖2可知R₂兩端的電壓為U₁′=I₂（

R2

2

+R₁）----③
已知U₁=

4

5

U₁′----------------------------④
由①②③④可得：2R₁=9R₂---------------⑤
因電源電壓不變，所以U=I₁（R₃+R₂）------⑥
U=I2(R3+

R2

2

+R1)------------------⑦
由①⑤⑥⑦可得：R₂=3R₃，
當P在A端，都S、S₁閉合時：P₂=I₁²R₂-------⑧
當P在B端，都S、S₁閉合時：P₃=I₃²R₃-----------⑨
因電源的電壓不變，所以U=I₁（R₂+R₃）=I₃R₃，
解得

I1

I3

=

1

4

---------------------------⑩
聯立⑧⑨⑩解得：P₃=

16

3

P₂=16W．
（3）當電路消耗的電功率最小時，電路中的總電阻最大，即P在A端，S閉合、S₁斷開，等效電路圖如圖4．

此時電路的最小電功率為：
Pmin=

U2

(R1+R2+R3)

=

U2

( 9 2 ×3R3+3R3+R3)

=

2U2

35R3

=

2

35

P₃≈0.9W．
答：（1）電流I₁與I₂的比值為4：1；
（2）電功率P₃的大小為16W；
（3）電路所消耗的最小電功率約為0.9W．

點評：本題目難度很大，需要學生先化簡電路圖，就開關斷開閉合時畫出合適的電路圖，并且結合電功率公式及其相關的比例關系，利用數學知識解決相關知識點．