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【題目】如圖，點P是半圓弧上一動點，連接AP，作∠APC=45°，交弦AB于點C．AB=6cm．小元根據學習函數的經驗，分別對線段AP，PC，AC的長度進行了測量．下面是小元的探究過程，請補充完整：

（1）下表是點P是上的不同位置，畫圖、測量，得到線段AP，PC，AC長度的幾組值，如下表：

①經測量m的值是（保留一位小數）．

②在AP，PC，AC的長度這三個量中，確定 的長度是自變量， 的長度和的長度都是這個自變量的函數；

（2）在同一平面直角坐標系xOy中，畫出（1）中所確定的函數圖象；

（3）結合函數圖象，解決問題：當△ACP為等腰三角形時，AP的長度約為 cm（保留一位小數）．

（1）求證：EF是△ABC外接圓的切線；

（2）若BC=5，sin∠ABC=，求EF的長．

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑， BC交⊙O于點D，E是的中點，連接AE交BC于點F，∠ACB =2∠EAB．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）若，，求BF的長．

已知：⊙O及⊙O外一點P．

求作：直線PA和直線PB，使PA切⊙O于點A，PB切⊙O于點B．

作法：如圖，

①連接OP，分別以點O和點P為圓心，大于OP的同樣長為半徑作弧，兩弧分別交于點M，N；

②連接MN，交OP于點Q，再以點Q為圓心，OQ的長為半徑作弧，交⊙O于點A和點B；

③作直線PA和直線PB.

所以直線PA和PB就是所求作的直線.

根據小東設計的尺規作圖過程，

（1）使用直尺和圓規，補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明.

證明：∵OP是⊙Q的直徑，

∴ ∠OAP＝∠OBP＝________°（ ）（填推理的依據）．

∴PA⊥OA，PB⊥OB．

∵OA，OB為⊙O的半徑，

∴PA，PB是⊙O的切線．

【題目】如圖，曲線AB是拋物線的一部分（其中A是拋物線與y軸的交點，B是頂點），曲線BC是雙曲線的一部分.曲線AB與BC組成圖形W由點C開始不斷重復圖形W形成一組“波浪線”.若點，在該“波浪線”上，則m的值為________，n的最大值為________.

【題目】如圖，矩形中，，，E是邊的中點，點P在邊上，設，若以點D為圓心，為半徑的與線段只有一個公共點，則所有滿足條件的x的取值范圍是______．

（1）若P是BC上的一個動點，當PA=DF時，求此時∠PAB的度數；

（2）將圖①中的等腰直角三角板ABC繞點B順時針旋轉30°，點C落在BF上，AC與BD交于點O，連接CD，如圖②．

①探求△CDO的形狀，并說明理由；

②在圖①中，若P是BC的中點，連接FP，將等腰直角三角板ABC繞點B順時針旋轉，當旋轉角α= 時，FP長度最大，最大值為 （直接寫出答案即可）．

（1）請你求出“蛋圓”拋物線部分的解析式，并寫出自變量的取值范圍；

（2）你能求出經過點C的“蛋圓”切線的解析式嗎？試試看；

（3）開動腦筋想一想，相信你能求出經過點D的“蛋圓”切線的解析式．

（1）求∠BPQ的度數；

（2）求該電線桿PQ的高度（結果精確到1m）．備用數據：，

已知一次函數y＝﹣x+3的圖象與x、y軸分別交于點M、N，且A、C為線段MN的三等分點（點A在點C的左邊）．

（1）直接寫出點A、C的坐標；

（2）①二次函數的圖象恰好經過點O、A、C，試求此二次函數的解析式；

②過點A、C分別作AB、CD垂直x軸于B、D兩點，在此拋物線O、C之間取一點P（點P不與O、C重合）作PF⊥x軸于點F，PF交OC于點E，是否存在點P使得AP＝BE？若存在，求出點P的坐標？若不存在，試說明理由；

（3）在（2）的條件下，將△OAB沿AC方向移動到△O'A'B'（點A'在線段AC上，且不與C重合），△O'A'B'與△OCD重疊部分的面積為S，試求當S＝時點A'的坐標．