Question

【題目】如圖，直線OM⊥ON，垂足為O，三角板的直角頂點C落在∠MON的內部，三角板的另兩條直角邊分別與ON、OM交于點D和點B．
(Ⅰ)求∠OBC+∠ODC的值；
(Ⅱ)如圖1：若DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，求證：DE⊥BF：
(Ⅲ)如圖2：若BF、DG分別平分∠OBC、∠ODC的外角，判斷BF與DG的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：∵OM⊥ON，
∴∠MON=90°，
在四邊形OBCD中，∠C=∠BOD=90°，
∴∠OBC+∠ODC=360°﹣90°﹣90°=180°；
故答案為180°；
（Ⅱ）證明：延長DE交BF于H，如圖1，
∵∠OBC+∠ODC=180°，
而∠OBC+∠CBM=180°，
∴∠ODC=∠CBM，
∵DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，
∴∠CDE=∠FBE，
而∠DEC=∠BEH，
∴∠BHE=∠C=90°，
∴DE⊥BF；
（Ⅲ）解：DG∥BF．理由如下：
作CQ∥BF，如圖2，
∵∠OBC+∠ODC=180°，
∴∠CBM+∠NDC=180°，
∵BF、DG分別平分∠OBC、∠ODC的外角，
∴∠GDC+∠FBC=90°，
∵CQ∥BF，
∴∠FBC=∠BCQ，
而∠BCQ+∠DCQ=90°，
∴∠DCQ=∠GDC，
∴CQ∥GD，
∴BF∥DG．

【解析】（Ⅰ）先利用垂直定義得到∠MON=90°，然后利用四邊形內角和求解；
（Ⅱ）延長DE交BF于H，如圖，由于∠OBC+∠ODC=180°，∠OBC+∠CBM=180°，根據等角的補角相等得到∠ODC=∠CBM，由于DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，則∠CDE=∠FBE，然后根據三角形內角和可得∠BHE=∠C=90°，于是DE⊥BF；
（Ⅲ）作CQ∥BF，如圖2，由于∠OBC+∠ODC=180°，則∠CBM+∠NDC=180°，再利用BF、DG分別平分∠OBC、∠ODC的外角，則∠GDC+∠FBC=90°，根據平行線的性質，由CQ∥BF得∠FBC=∠BCQ，加上∠BCQ+∠DCQ=90°，則∠DCQ=∠GDC，于是可判斷CQ∥GD，所以BF∥DG．
【考點精析】認真審題，首先需要了解平行線的性質(兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補)，還要掌握三角形的外角(三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角)的相關知識才是答題的關鍵．