Question

【題目】如圖，在中，點是線段上一點,，.

(1)若是的高線，且，求的長.

(2)若是的角平分線，，求出的面積.

(3)填空：若是的中線，設長為，則的取值范圍______.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的面積為；（3）.

【解析】

（1）過點作的垂線，與相交于點，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得 ，根據即可求得BC的長；（2）過點作的垂線，與交于點，過點作的垂線，與交于點，根據角平分線的性質定理可得，設，根據三角形的面積公式，結合已知條件可得，解方程求得，由此即可求得的面積；（3）延長AD至點E，使DE=AD，連接EC，先證明△ABD≌△ECD，在△AEC中，由三角形的三邊關系定理即可求解．

（1）過點作的垂線，與相交于點

在中，由勾股定理得

在中，由勾股定理得

綜上所述：.

（2）過點作的垂線，與交于點，過點作的垂線，與交于點，

是的角平分線

設

∴解得

綜上所述：的面積為

（3）延長AD至點E，使DE=AD，連接EC，

∵BD=CD，DE=AD，∠ADB=∠EDC，

∴△ABD≌△ECD，

∴CE=AB，

∵AB= CE=4，AC=3，

設AD=m，則AE=2m，

∴4-3＜2m＜4+3，

∴0.5＜m＜3.5，

故答案為：0.5＜m＜3.5．