Question

【題目】要利用28米長的籬笆和一堵最大可利用長為12米的墻圍成一個如圖1的一邊靠墻的矩形養雞場，在圍建的過程中遇到了以下問題，請你幫忙來解決．

（1）這個矩形養雞場要怎樣建面積能最大？求出這個矩形的長與寬；
（2）在（1）的前提條件下，要在墻上選一個點P，用不可伸縮的繩子分別連接BP，CP，點P取在何處所用繩子長最短？
（3）仍然是矩形養雞場面積最大的情況下，若把（2）中的不可伸縮的繩子改為可以伸縮且有彈性的繩子，點P可以在墻上自由滑動，求sin∠BPC的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設這個矩形的長為x米（0＜x≤12），則寬為 米，

根據矩形的面積公式可知S=x =﹣ （x﹣14）2+98，

∵0＜x≤12，在此區間內面積S關于長x的函數單調遞增，

∴當x=12時，S取最大值，S最大=96，

此時 =8．

故把整堵墻壁都用起來，矩形長為12米，寬為2米時矩形養雞場的面積最大

（2）

解：作點C關于AD的對稱點C′，連接BC′交AD于點P，連接PC，如圖一所示．

∵點C、C′關于AD對稱，

∴PC=PC′，

∴PB+PC=PB+PC．

由三角形內兩邊之和大于第三邊可知：當B、P、C′共線時PB+PC最小．

∵AD∥BC，

∴△C′PD∽△C′BC，

∴ = ，

∴PD= BC，即P為AD的中點．

此時C′B= =20（米）．

故當點P選在AD中點處時，需要的繩子最短，最短繩長為20米

（3）

解：作一個圓，使該圓經過B、C點且和AD相切，如圖二所示．

任取線段AD上一點P，連接BP、CP，令CP與圓交于點G，連接BG．

∵∠BGC=∠BPC+∠PBG，

∴∠BPC≤∠BGC．

當P、G兩點重合時取等號，此時點P為AD的中點．

∵AD=12，AB=8，

∴AP=6，

由勾股定理得：BP= =10，

∵△PBC的面積S= BPCPsin∠BPC= ×10×10sin∠BPC= BCAB= ×12×8，

∴sin∠BPC= ．

故sin∠BPC的最大值為

【解析】（1）設這個矩形的長為x米（0＜x≤12），則寬為 米，根據矩形的面積=長×寬，即可得出面積S關于長x之間的函數關系式，由二次函數在x的取值范圍內的單調性即可得出結論；（2）作點C關于AD的對稱點C′，連接BC′交AD于點P，連接PC，由三角形中兩邊之和大于第三邊可知，當B、P、C′共線時PB+PC最小，根據相似三角形的性質即可得出P點在AD中點時，用的繩子最短，求出此時C′B的長度即可；（3）作一個圓，使該圓經過B、C點且和AD相切，由外角知識及圓周角定理可知∠BPC≤∠BGC（P、G重合時取等號），根據三角形的面積公式即可算出取最大值時sin∠BPC的值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解軸對稱-最短路線問題的相關知識，掌握已知起點結點，求最短路徑；與確定起點相反，已知終點結點，求最短路徑；已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑．