Question

【題目】已知是的直徑，點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)，，是的弦，．

（1）求證：直線是的切線；

（2）若，垂足為，的半徑為，求的長．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）．

【解析】

（1）先求出∠ABC=30°，進(jìn)而求出∠BAD=120°，即可求出∠OAB=30°，結(jié)論得證；

（2）先求出∠AOC=60°，用三角函數(shù)求出AM，再用垂徑定理即可得出結(jié)論．

（1）連接OA，如圖，∵∠AEC=30°，∴∠ABC=30°．

∵AB=AD，∴∠D=∠ABC=30°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得：∠BAD=120°，∴OA=OB，∴∠OAB=∠ABC=30°，∴∠OAD=∠BAD﹣∠OAB=90°，∴OA⊥AD．

∵點(diǎn)A在⊙O上，∴直線AD是⊙O的切線．

（2）連接OA．

∵∠AEC=30°，∴∠AOC=60°．

∵BC⊥AE于M，∴AE=2AM，∠OMA=90°．在Rt△AOM中，AM=OAsin∠AOM=4×sin60°=2，∴AE=2AM=4．