Question

【題目】（本題10分）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑作⊙O交BC于點D，過點D作⊙O的切線，交AB于點E，交CA的延長線于點F．

（1）求證：FE⊥AB；

（2）當EF=6，=時，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）.

【解析】試題分析：（1）連接OD .根據EF與⊙O相切.可得OD⊥EF，所以要證明FE⊥AB，只要證明OD∥AB即可；

（2）首先利用sin∠CFD=，在Rt△AEF中，求出AF的長，然后利用△ODF∽△AEF.求出圓的半徑，再根據EB=AB-AE計算即可.

試題解析：（1）證明：連接OD . （如圖）

∵ OC=OD，

∴ ∠OCD="∠ODC."

∵ AB=AC，

∴∠ACB=∠B.

∴ ∠ODC=∠B.

∴ OD∥AB. 1分

∴ ∠ODF =∠AEF.

∵ EF與⊙O相切.

∴ OD⊥EF，∴ ∠ODF =90°.

∴∠AEF ="∠ODF" =90°.

∴ EF⊥AB. 2分

（2）解：由（1）知：OD∥AB，OD⊥EF .

在Rt△AEF中，sin∠CFD ==，AE=6.

∴ AF=10. 3分

∵ OD∥AB，

∴ △ODF∽△AEF.

∴.

∴.

解得r=. 4分

∴ AB=" AC=2r" =.

∴ EB=AB－AE=－6=. 5分