Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線y=-x+3與x軸、y軸相交于A、B兩點，點C在線段OA上，將線段CB繞著點C順時針旋轉90°得到CD，此時點D恰好落在直線AB上，過點D作DE⊥x軸于點E．

（1）求證：△BOC≌△CED；

（2）如圖2，將△BCD沿x軸正方向平移得△B'C'D'，當B'C'經過點D時，求△BCD平移的距離及點D的坐標；

（3）若點P在y軸上，點Q在直線AB上，是否存在以C、D、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）存在，點P的坐標為（0，）或（0，）

【解析】

（1）利用同角的余角相等可得出∠OBC=∠ECD，由旋轉的性質可得出BC=CD，結合∠BOC=∠CED=90°即可證出△BOC≌△CED（AAS）；

（2）利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點B的坐標，設OC=m，則點D的坐標為（m+3，m），利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出m值，進而可得出點C，D的坐標，由點B，C的坐標，利用待定系數法可求出直線BC的解析式，結合B′C′∥BC及點D在直線B′C′上可求出直線B′C′的解析式，再利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點C′的坐標，結合點C的坐標即可得出△BCD平移的距離；

（3）設點P的坐標為（0，m），點Q的坐標為（n，-n+3），分CD為邊及CD為對角線兩種情況考慮，利用平行四邊形的對角線互相平分，即可得出關于m，n的二元一次方程組，解之即可得出點P的坐標．

（1）證明：∵∠BOC=∠BCD=∠CED=90°，

∴∠OCB+∠OBC=90°，∠OCB+∠ECD=90°，

∴∠OBC=∠ECD．

∵將線段CB繞著點C順時針旋轉90°得到CD，

∴BC=CD．

在△BOC和△CED中，，

∴△BOC≌△CED（AAS）．

（2）解：∵直線y=-x+3與x軸、y軸相交于A、B兩點，

∴點B的坐標為（0，3），點A的坐標為（6，0）．

設OC=m，

∵△BOC≌△CED，

∴OC=ED=m，BO=CE=3，

∴點D的坐標為（m+3，m）．

∵點D在直線y=-x+3上，

∴m=-（m+3）+3，解得：m=1，

∴點D的坐標為（4，1），點C的坐標為（1，0）．

∵點B的坐標為（0，3），點C的坐標為（1，0），

∴直線BC的解析式為y=-3x+3．

設直線B′C′的解析式為y=-3x+b，

將D（4，1）代入y=-3x+b，得：1=-3×4+b，解得：b=13，

∴直線B′C′的解析式為y=-3x+13，

∴點C′的坐標為（，0），

∴CC′=-1=，

∴△BCD平移的距離為．

（3）解：設點P的坐標為（0，m），點Q的坐標為（n，-n+3）．

分兩種情況考慮，如圖3所示：

①若CD為邊，當四邊形CDQP為平行四邊形時，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（n，-n+3），

∴，解得： ，

∴點P1的坐標為（0，）；

當四邊形CDPQ為平行四邊形時，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（n，-n+3），

∴，解得：，

∴點P2的坐標為（0，）；

②若CD為對角線，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（n，-n+3），

∴，解得：，

∴點P的坐標為（0，）．

綜上所述：存在，點P的坐標為（0，）或（0，）．