Question

【題目】探究：如圖①，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，點P是對角線AC上的一點，過點P分別作AB、AD的平行線，交BC、CD于點M、N，求的值；

應用：如圖②，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，點P是對角線AC上的一點，Rt△PEF的兩條直角邊PE、PF分別交BC、CD于點M、N，則= ．

Answer 1

【答案】；

【解析】

試題分析：探究：首先證明PN=MC，由PM∥AB，推出，即，由此即可解決問題．

應用：先過P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，判定△PGM∽△PHN，再根據相似三角形的性質以及探究的結論即可解決問題；

試題解析：探究：解：如圖①中，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B=∠DCB=90°，AD=BC=4

∵PM⊥BC，PN⊥CD，

∴∠PMC=∠PNC=90°，

∴四邊形PMCN是矩形，

∴PC=CM，

∵∠PMC=∠B=90°，

∴PM∥AB，

∴△CPM∽△CAB，

∴，即，

∵AB=3，BC=4

∴=

應用：解：如圖②中，過P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，則∠PGM=∠PHN=90°，∠GPH=90°，

∵Rt△PEF中，∠FPE=90°

∴∠GPM=∠HPN

∴△PGM∽△PHN

∴，

由條件可知，=，

∴=．