Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2﹣x﹣4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在線段AB上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，在線段BC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為多少秒時(shí)，△PBQ的面積S最大，并求出其最大面積；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)△PBQ面積最大時(shí)，在BC下方的拋物線上是否存在點(diǎn)M，使△BMC的面積是△PBQ面積的1.6倍？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣4）；（2）當(dāng)t=時(shí)，△PBQ的面積取最大值，最大值為；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，﹣4）或（2，﹣）．

【解析】（1）代入x=0可求出點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，代入y=0可求出點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)，此題得解；

（2）根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線BC的解析式，過(guò)點(diǎn)Q作QE∥y軸，交x軸于點(diǎn)E，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2t-2，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3-t，-t），進(jìn)而可得出PB、QE的長(zhǎng)度，利用三角形的面積公式可得出S△PBQ關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問(wèn)題；

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論找出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m2-m-4），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，m-4），進(jìn)而可得出MF的長(zhǎng)度，利用三角形的面積結(jié)合△BMC的面積是△PBQ面積的1.6倍，可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．

（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=x2﹣x﹣4=﹣4，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣4）；

當(dāng)y=0時(shí)，有x2﹣x﹣4=0，

解得：x1=﹣2，x2=3，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．

（2）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），

將B（3，0）、C（0，﹣4）代入y=kx+b，

，解得：，

∴直線BC的解析式為y=x﹣4．

過(guò)點(diǎn)Q作QE∥y軸，交x軸于點(diǎn)E，如圖1所示，

當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2t﹣2，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3﹣t，﹣t），

∴PB=3﹣（2t﹣2）=5﹣2t，QE=t，

∴S△PBQ=PBQE=﹣t2+2t=﹣（t﹣）2+．

∵﹣＜0，

∴當(dāng)t=時(shí)，△PBQ的面積取最大值，最大值為．

（3）當(dāng)△PBQ面積最大時(shí)，t=，

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，﹣1）．

假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m2﹣m﹣4），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，m﹣4），

∴MF=m﹣4﹣（m2﹣m﹣4）=﹣m2+2m，

∴S△BMC=MFOB=﹣m2+3m．

∵△BMC的面積是△PBQ面積的1.6倍，

∴﹣m2+3m=×1.6，即m2﹣3m+2=0，

解得：m1=1，m2=2．

∵0＜m＜3，

∴在BC下方的拋物線上存在點(diǎn)M，使△BMC的面積是△PBQ面積的1.6倍，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，﹣4）或（2，﹣）．