Question

【題目】已知正方形ABCD的邊長為1，點P為正方形內一動點，若點M在AB上，且滿足△PBC∽△PAM，延長BP交AD于點N，連結CM．

（1）如圖一，若點M在線段AB上，求證：AP⊥BN；AM=AN；

（2）①如圖二，在點P運動過程中，滿足△PBC∽△PAM的點M在AB的延長線上時，AP⊥BN和AM=AN是否成立？

②是否存在滿足條件的點P，使得PC=？（不需說明理由）．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①仍然成立，AP⊥BN和AM=AN． ②這樣的點P不存在．

【解析】試題分析：（1）根據相似三角形的性質得到∠PAM=∠PBC，根據正方形的性質證明，得到AP⊥BN，根據相似三角形的對應邊的比線段求出AM與AN的數量關系；

（2）①同（1）的證明方法類似；

②根據圓周角定理得到點P在以AB為直徑的圓上，根據勾股定理計算即可．

試題解析：（1）如圖一中，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，

∵△PBC∽△PAM，∴∠PAM=∠PBC， ，∴∠PBC+∠PBA=90°，∴∠PAM+∠PBA=90°，

∴∠APB=90°，∴AP⊥BN，∵∠ABP=∠ABN，∠APB=∠BAN=90°，

∴△BAP∽△BNA，∴，∴，∵AB=BC，∴AN=AM．

（2）①仍然成立，AP⊥BN和AM=AN．

理由如圖二中，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，

∵△PBC∽△PAM， ∴∠PAM=∠PBC， ，∴∠PBC+∠PBA=90°，

∴∠PAM+∠PBA=90°， ∴∠APB=90°，∴AP⊥BN，∵∠ABP=∠ABN，∠APB=∠BAN=90°，

∴△BAP∽△BNA，∴，∴，∵AB=BC，∴AN=AM．

②這樣的點P不存在．理由：假設PC=，如圖三中，以點C為圓心為半徑畫圓，以AB為直徑畫圓， CO= = ＞1+，∴兩個圓無公共點，∴∠APB＜90°，這與AP⊥PB矛盾，

∴假設不可能成立，∴滿足PC=的點P不存在．