Question

已知直線l：y=-x+m（m≠0）交x軸、y軸于A、B兩點，點C、M分別在線段OA、AB上，且OC=2CA，AM=2MB，連接MC，將△ACM繞點M旋轉180°，得到△FEM，則點E在y軸上，點F在直線l上；取線段EO中點N，將ACM沿MN所在直線翻折，得到△PMG，其中P與A為對稱點．記：過點F的雙曲線為C₁，過點M且以B為頂點的拋物線為C₂，過點P以M為頂點的拋物線為C₃．
（1）如圖，當m=6時，①直接寫出點M、F的坐標，②求C₁、C₂的函數解析式；
（2）當m發生變化時，①在C₁的每一支上，y隨x的增大如何變化請說明理由．②若C₂、C₃中的y都隨著x的增大而減小，寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由直線Y=-X+6易求OA、OB，接著可求AB、AM、AC、AF，運用相似性質可求點M、F縱坐標，進而求出橫坐標；
（2）函數增減性關鍵在于K值，求出解析式可說增減性；知道增減性，可求取值范圍．

解答：解：（1）①點M的坐標為（2，4），點F的坐標為（-2，8）．
設C₁的函數解析式為y=

k

x

（k≠0）．
∵C₁過點F（-2，8），
∴C₁的函數解析式為y=-

16

x

．
∵C₂的頂點B的坐標是（0，6）
∴設C₂的函數解析式為y=ax²+6（a≠0）．
∵C₂過點M（2，4）
∴4a+6=4，
解得a=-

1

2

．
∴C₂的函數解析式為y=-

1

2

x²+6．

（2）依題意得，A（m，0），B（0，m），
∴點M坐標為（

1

3

m，

2

3

m），點F坐標為（-

1

3

m，

4

3

m）
①設C₁的函數解析式為y=

k

x

（k≠0）．
∵C₁過點F（-

1

3

m，

4

3

m）
∴k=-

4

9

m²．
∵m≠0
∴k＜0
∴在C₁的每一支上，y隨著x的增大而增大．
②∵點M坐標為（

1

3

m，

2

3

m），
∴點E坐標為（0，

4

3

m），
∴點N坐標為（0，

2

3

m）．
∵B（0，m），
∴過點M且以B為頂點的拋物線C₂的解析式為y=-

3

m

x²+m，
過點P以M為頂點的拋物線C₃的解析式為y=

3

2m

（x-

1

3

m）²+

2

3

m．
∴當m＞0時，若C₂、C₃中的y都隨著x的增大而減小，則

x＞0 x＜ 1 3 m

，解得0＜x＜

1

3

m；
當m＜0時，若C₂、C₃中的y都隨著x的增大而減小，則

x＜0 x＞ 1 3 m

，解得

1

3

m＜x＜0．
答：當m＞0時，滿足題意的x的取值范圍為0＜x＜

1

3

m；當m＜0時，滿足題意的x的取值范圍為

1

3

m＜x＜0．

點評：此題難度稍大，考查一次函數、反比例函數、二次函數的圖形和性質．