Question

【題目】三角形ABC的三條內角平分線為AE，BF，CG，下面的說法中正確的個數有（ ）
①△ABC的內角平分線上的點到三邊距離相等
②三角形的三條內角平分線交于一點
③三角形的內角平分線位于三角形的內部
④三角形的任一內角平分線將三角形分成面積相等的兩部分．
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】B
【解析】解：

∵設O為∠BAC的角平分線和∠ACB的角平分線的交點，過O作ON⊥AB于N，OM⊥BC于M，OQ⊥AC于Q，
∴ON=OQ，OQ=OM，
∴ON=OM=OQ，
∴△ABC的三個內角的角平分線的交點到三角形三邊的距離相等，∴①錯誤；
∵ON⊥AB，OM⊥BC，ON=OM，
∴O在∠ABC的角平分線上，
即O是△ABC的三個角的平分線交點，∴②正確；
∵三角形的三個內角的平分線都在三角形的內部，∴③正確；
∵三角形的任意中線把三角形的面積分為面積相等的兩部分，而三角形的任意角平分線不一定把三角形的面積分成面積相等的兩部分，∴④錯誤；
故選B．
【考點精析】關于本題考查的三角形的“三線”和角平分線的性質定理，需要了解1、三角形角平分線的三條角平分線交于一點(交點在三角形內部，是三角形內切圓的圓心，稱為內心);2、三角形中線的三條中線線交于一點(交點在三角形內部，是三角形的幾何中心，稱為中心);3、三角形的高線是頂點到對邊的距離；注意：三角形的中線和角平分線都在三角形內；定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上才能得出正確答案．