Question

【題目】△ABC中，點O是AC上一動點，過點O作直線MN∥BC，若MN交∠BCA的平分線于點E，交∠DCA的平分線于點F，連接AE、AF.

（1）若CE=12，CF=5，求OC的長；

（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形,并說明理由；

Answer 1

【答案】(1)6.5；(2)點O運動到AC的中點，理由見解析.

【解析】

(1)根據角平分線和平行線性質得到∠FCE=90°，OE=OC=OF，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OC=EF，根據勾股定理求出EF，即可求出AC；

(2)由(1)得出的EO=CO=FO，點O運動到AC的中點時，則有EO=CO=FO=AO，所以這時四邊形AECF是矩形．

解：(1)∵MN交∠BCA的平分線于點E，交∠DCA的平分線于點F，

∴∠OCE=∠ECB，∠OCF=∠FCD，

∵MN∥BC，

∴∠OEC=∠ECB，∠OFC=∠FCD，

∴∠OEC=∠OCE，∠OCF=∠OFC，

∴EO=CO，FO=CO，

∴OE=OF，

∵∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，

∴∠OEC+∠OFC=∠OCE+∠OCF=90°.

∵CE=12，CF=5，

∴EF==13，

∴OC=EF=6.5；

(2)當點O在邊AC上運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形.

理由：當O為AC的中點時，AO=CO.

∵EO=FO，

∴四邊形AECF是平行四邊形.

∵∠ECF=90°，

∴平行四邊形AECF是矩形.

故答案為：(1)6.5；(2)點O運動到AC的中點，理由見解析.