Question

【題目】小明在課外學習時遇到這樣一個問題：

定義：如果二次函數y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0，a1，b1，c1是常數）與y＝a2x2＋b2x＋c2

（a2≠0，a2，b2，c2是常數）滿足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，則稱這兩個函數互為“旋轉函數”．求y＝－2x2＋5x－3函數的“旋轉函數”．

小明是這樣思考的：由y＝－2x2＋5x－3函數可知，a1＝－2，b1＝5，c1＝－3，根據a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，求出a2，b2，c2就能確定這個函數的“旋轉函數”．

請參考小明的方法解決下面的問題：

（1）寫出函數y＝－2x2＋5x－3的“旋轉函數”；

（2）若函數y1＝x2＋ x－n與y2＝－x2－mx－2互為“旋轉函數”，求（m＋n）2019的值；

（3）已知函數y＝(x－2)(x＋3)的圖像與軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點A、B、C關于原點的對稱點分別是A1、B1、C1，試證明經過點A1、B1、C1的二次函數與函數y＝ (x－2)(x＋3)互為“旋轉函數”．

Answer 1

【答案】（1） y＝2x2＋5x＋3 ;(2)1;(3)見解析.

【解析】

（1）根據題目中的條件直接可以寫出函數表達式（2）根據a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0的規律列出等式進行計算即可（3）函數y＝(x－2)(x＋3)的圖像與軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，求出點的坐標，再求出關于原點的對稱點，進而求出經過對稱點的二次函數，通過“旋轉函數”的規律就可以證明兩函數是互為“旋轉函數”.

（1） y＝2x2＋5x＋3 ;

.（2）∵y1＝x2＋x－n與y2＝－x2－mx－2互為“旋轉函數”，

∴解得

∴（m＋n）2019＝（3－2）2019 ＝1

（3）證明：當x＝0時，y＝ (x－2)(x＋3)，則C（0，－3），

當y＝0時， (x－2)(x＋3)＝0，解得x1=2，x2=－3，則A（2，0），B（－3，0），

∵點A、B、C關于原點的對稱點分別是A1，B1，C1，

∴A1（－2，0），B1（3，0），C1（0，3），

可求過點A1，B1，C1的二次函數解析式為y＝－ (x＋2)(x－3)＝－x2＋x＋3…8分

y＝ (x－2)(x＋3)＝x2＋x－3

∵a1+a2＝＋(－)＝0，b1=b2=，c1+c2＝3＋(－3)＝0

∴經過點A1，B1，C1的二次函數與函數y＝ (x－2)(x＋3)互為“旋轉函數”