Question

（2006•吉林）如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OEFG的頂點E坐標為（4，0），頂點G坐標為（0，2）．將矩形OEFG繞點O逆時針旋轉，使點F落在y軸的點N處，得到矩形OMNP，OM與GF交于點A．
（1）判斷△OGA和△OMN是否相似，并說明理由；
（2）求過點A的反比例函數解析式；
（3）設（2）中的反比例函數圖象交EF于點B，求直線AB的解析式；
（4）請探索：求出的反比例函數的圖象，是否經過矩形OEFG的對稱中心，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知，得∠OGA=∠M=90°，∠GOA=∠MON，易得△OGA∽△OMN．
（2）根據（1）的結論，可得AG的值，即A的坐標，設反比例函數y=，把A（1，2）代入，得k=2，即y=．
（3）易得B的坐標，設y=mx+n，把A（1，2），B（4，）代入可得方程組，解可得mn的值，代入可得直線AB的解析式；
（4）設矩形OEFG的對稱中心為Q，易得點Q坐標為（2，1），將其代入解析式，即可判斷出答案．
解答：解：（1）△OGA∽△OMN．（1分）
由已知，得∠OGA=∠M=90°，∠GOA=∠MON，
∴△OGA∽△OMN．（2分）

（2）由（1）得．
∴，AG=1，
∴A（1，2）．（3分）
設反比例函數y=，把A（1，2）代入，得k=2，即y=．（4分）

（3）∵點B的橫坐標為4，把x=4代入y=中得，y=，即B（4，）．（5分）
設y=mx+n，把A（1，2），B（4，）代入，得解得
∴y=-x+．（8分）


（4）設矩形OEFG的對稱中心為Q，則點Q坐標為（2，1）．
把x=2代入y=，得y=1．
∴反比例函數的圖象經過矩形OEFG的對稱中心．（10分）
點評：綜合考查三角形相似的判定，反比例函數直線關系式的求法，及中心對稱的有關知識．此題綜合性強，有一定的難度，有利于培養同學們勇于探索的良好學習習慣．