Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是中線，AC=BC，一個以點D為頂點的45°角繞點D旋轉，使角的兩邊分別與AC、BC的延長線相交，交點分別為點E，F，DF與AC交于點M，DE與BC交于點N．

（1）如圖1，若CE=CF，求證：DE=DF；

（2）如圖2，在∠EDF繞點D旋轉的過程中：

①探究三條線段AB，CE，CF之間的數量關系，并說明理由；

②若CE=4，CF=2，求DN的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①AB2=4CECF；②．

【解析】試題（1）根據等腰直角三角形的性質得到∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF=90°，于是得到∠DCE=∠DCF=135°，根據全等三角形的性質即可的結論；

（2）①證得△CDF∽△CED，根據相似三角形的性質得到，即CD2=CECF，根據等腰直角三角形的性質得到CD=AB，于是得到AB2=4CECF；②如圖，過D作DG⊥BC于G，于是得到∠DGN=∠ECN=90°，CG=DG，當CE=4，CF=2時，求得CD=，推出△CEN∽△GDN，根據相似三角形的性質得到=2，根據勾股定理即可得到結論．

試題解析：（1）證明：∵∠ACB=90°，AC=BC，AD=BD，∴∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF=90°，∴∠DCE=∠DCF=135°，在△DCE與△DCF中，∵CE=CF，∠DCE=∠DCF，CD=CD，∴△DCE≌△DCF，∴DE=DF；

（2）解：①∵∠DCF=∠DCE=135°，∴∠CDF+∠F=180°﹣135°=45°，∵∠CDF+∠CDE=45°，∴∠F=∠CDE，∴△CDF∽△CED，∴，即CD2=CECF，∵∠ACB=90°，AC=BC，AD=BD，∴CD=AB，∴AB2=4CECF；

②如圖，過D作DG⊥BC于G，則∠DGN=∠ECN=90°，CG=DG，當CE=4，CF=2時，由CD2=CECF得CD=，∴在Rt△DCG中，CG=DG=CDsin∠DCG=×sin45°=2，∵∠ECN=∠DGN，∠ENC=∠DNG，∴△CEN∽△GDN，∴=2，∴GN=CG=，∴DN===．