Question

【題目】如圖，E，F分別是正方形ABCD的邊CD，AD上的點，CE＝DF，AE，BF相交于點O.下列結論：①AE＝BF；②AE⊥BF；③△ABF與△DAE成中心對稱．其中，正確的結論有( )

A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據正方形的性質及已知條件易證△ABF≌△DAE，根據全等三角形的性質即可判定①正確；再根據∠DAE+∠BAO=90°，∠ABF+∠BAO=90°，求得∠AOB=90°，即可判定②正確；利用反證法證明③錯誤；利用中心對稱的性質判定④錯誤.

在正方形ABCD中，∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，

∵CE=DF，

∴AD-DF=CD-CE，

即AF=DE，

在△ABF和△DAE中，

，

∴△ABF≌△DAE（SAS），

∴AE=BF，∠ABF=∠DAE，

故①正確；

∵∠DAE+∠BAO=90°，

∴∠ABF+∠BAO=90°，

在△ABO中，∠AOB=180°-（∠ABF+∠BAO）=180°-90°=90°，

∴AE⊥BF，故②正確；

假設AO=OE，

∵AE⊥BF（已證），

∴AB=BE（線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等），

∵在Rt△BCE中，BE＞BC，

∴AB＞BC，這與正方形的邊長AB=BC相矛盾，

所以，假設不成立，AO≠OE，故③錯誤；

連接AD、BA、FE，三條直線不相交于一點，所以△ABF與△DAE不成中心對稱.

綜上，正確的結論為①②.

故選C.