Question

【題目】如圖，二次函數y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A（﹣2，0），B（1，0），交y軸于C（0，2）．

（1）求二次函數的解析式；

（2）連接AC，在直線AC上方的拋物線上是否存在點N，使△NAC的面積最大，若存在，求出這個最大值及此時點N的坐標，若不存在，說明理由；

（3）若點M在x軸上，是否存在點M，使以B、C、M為頂點的三角形是等腰三角形，若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，說明理由；

（4）若P為拋物線上一點，過P作PQ⊥BC于Q，在y軸左側的拋物線是否存在點P使△CPQ∽△BCO（點C與點B對應），若存在，求出點P的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+2；（2）N（﹣1，2），△ANC的面積有最大值為1；（3）M的坐標為（﹣1，0）或（，0）或（，0）；（4）點P的坐標為：（﹣1，2）或（， ）．

【解析】試題分析：（1）利用交點式求二次函數的解析式；

（2）求直線AC的解析式，作輔助線ND，根據拋物線的解析式表示N的坐標，根據直線AC的解析式表示D的坐標，表示ND的長，利用鉛直高度與水平寬度的積求三角形ANC的面積，根據二次函數的最值可得面積的最大值，并計算此時N的坐標；

（3）分三種情況：當B、C、M為頂點的三角形是等腰三角形時，分別以三邊為腰，畫圖形，求M的坐標即可；

（4）存在兩種情況：①如圖4，點P1與點C關于拋物線的對稱軸對稱時符合條件；

②如圖5，圖3中的M（﹣，0）時，MB=MC，設CM與拋物線交于點P2，則△CP2Q∽△BCO，P2為直線CM的拋物線的交點．

試題解析：

解：（1）∵二次函數y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A（﹣2，0），B（1，0），

設二次函數的解析式為：y=a（x+2）（x﹣1），

把C（0，2）代入得：2=a（0+2）（0﹣1），

a=﹣1，

∴y=﹣（x+2）（x﹣1）=﹣x2﹣x+2，

∴二次函數的解析式為：y=﹣x2﹣x+2.

（2）如圖1，過N作ND∥y軸，交AC于D，設N（n，﹣n2﹣n+2），

設直線AC的解析式為：y=kx+b，

把A（﹣2，0）、C（0，2）代入得： ，

解得： ，

∴直線AC的解析式為：y=x+2，

∴D（n，n+2），

∴ND=（﹣n2﹣n+2）﹣（n+2）=﹣n2﹣2n，

∴S△ANC=×2×[﹣n2﹣2n]=﹣n2﹣2n=﹣（n+1）2+1，

∴當n=﹣1時，△ANC的面積有最大值為1，此時N（﹣1，2），

（3）存在，分三種情況：

①如圖2，當BC=CM1時，M1（﹣1，0）.

②如圖2，由勾股定理得：BC==，

以B為圓心，以BC為半徑畫圓，交x軸于M2、M3，則BC=BM2=BM3=，

此時，M2（1﹣，0），M3（1+，0）.

③如圖3，作BC的中垂線，交x軸于M4，連接CM4，則CM4=BM4，

設OM4=x，則CM4=BM4=x+1，

由勾股定理得：22+x2=（1+x）2，

解得：x=，

∵M4在x軸的負半軸上，

∴M4（﹣，0），

綜上所述，當B、C、M為頂點的三角形是等腰三角形時，M的坐標為（﹣1，0）或（1±，0）或（﹣，0）.

（4）存在兩種情況：

①如圖4，過C作x軸的平行線交拋物線于P1，過P1作P1Q⊥BC，

此時，△CP1Q∽△BCO，

∴點P1與點C關于拋物線的對稱軸對稱，

∴P1（﹣1，2），

②如圖5，由（3）知：當M（﹣，0）時，MB=MC，設CM與拋物線交于點P2，

過P2作P2Q⊥BC，此時，△CP2Q∽△BCO，

易得直線CM的解析式為：y=x+2，

則，

解得：P2（﹣，﹣），

綜上所述，點P的坐標為：（﹣1，2）或（﹣，﹣）．