Question

【題目】如圖，已知一次函數y＝x－2與反比例函數y＝的圖象相交于點A(2, n) ，與x軸相交于點B．

（1）求k 的值以及點 B 的坐標；

（2）以AB為邊作菱形ABCD，使點C在x軸正半軸上，點D在第一象限，求點D的坐標；

（3）在y軸上是否存在點P，使PA＋PB的值最小？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）k=6，點B的坐標為（，0）；（2）D（2＋，3）；（3）存在，P（0，）．

【解析】

（1）把A點坐標代入一次函數解析式可求得n，則可求得A點坐標，代入反比例函數解析式則可求得k的值，最后根據y＝0可得點B的坐標
（2）根據兩點的距離公式可得AB的長，由菱形的邊長相等可得AD＝AB，根據AD與BC平行，可知A與D的縱坐標相等，由此可得D的坐標；
（3）作點B（，0）關于y軸的對稱點Q的坐標為（，0），連接AQ交y軸的交點為P，求出AQ解析式即可求解．

解：（1）把點A（2，n）代入一次函數y＝x2，
可得n＝×22＝3；
把點A（2，3）代入反比例函數y＝，
可得k＝xy＝2×3＝6，
∵一次函數y＝x2，與x軸相交于點B，
∴x2＝0，
解得x＝，
∴點B的坐標為（，0）；
（2）∵點A（2，3），B（，0），
∴AB＝，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝，AD∥BC，
∵點C在x軸正半軸上，點D在第一象限，
∴D（2＋，3）；
（3）存在，

如圖，作點B（，0）關于y軸的對稱點Q的坐標為（，0），連接AQ交y軸于點P，此時PA＋PB的值最小，
設直線AQ的解析式為：y＝mx＋b，
則，解得：，

∴直線AQ的關系式為，

當x=0時，y=

∴直線AQ與y軸的交點為P（0，）．